数值分析学期期末考试试题与答案(A)

期末考试试卷（A卷）2007学年第二学期考试科目：数值分析考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分234516得分评阅人一、判断题（每小题2分，共10分）1.用计算机求10001时，应按照n从小到大的顺序相加。（）1000n1n2.为了减少误差,应将表达式20011999改写为2进行计算。（）200119993.用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（）4.采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（）5.用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。（）二、填空题（每空2分，共36分）1.已知数a的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.10102.设A021,x5,则A1_____，x2______，Ax_____.13013.已知f(x)2x54x35x,则f[1,1,0],f[3,2,1,1,2,3].4.为使求积公式1f(x)dxA1f(3)A2f(0)A3f(3)的代数精度尽量高，应使133A1，A2，A3，此时公式具有次的代数精度。5.n阶方阵A的谱半径(A)与它的任意一种范数A的关系是.6.用迭代法解线性方程组AXB时，使迭代公式X(k1)MX(k)N(k0,1,2,)产生的向量序列X(k)收敛的充分必要条件是.7.使用消元法解线性方程组AXB时，系数矩阵A可以分解为下三角矩阵L和上三角矩1/13阵U的乘积，即ALU.若采用高斯消元法解AXB，其中A422，则1L_______________，U______________；若使用克劳特消元法解AXB，则u11____；若使用平方根方法解AXB，则l11与u11的大小关系为_____（选填：，，=，不一定）。8.以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题yxyy(0)的数值解，其迭代公式为1___________________________.三、计算题（第1～3、6小题每题8分，第4、5小题每题7分，共46分）1.以x02为初值用牛顿迭代法求方程f(x)x33x10在区间(1,2)内的根，要求（1）证明用牛顿法解此方程是收敛的；（2）给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算x1,x2,计算结果取到小数点后4位）。2/132.给定线性方程组x10.4x20.4x310.4x1x20.8x320.4x10.8x2x33（1）分别写出用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式；（2）试分析以上两种迭代方法的敛散性。3.已知函数yf(x)在如下节点处的函数值x-1012y1430（1）建立以上数据的差分表；（2）根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式P2(x)，并计算y(1.1)的近似值；（3）采用事后估计法计算（2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数）。3/134.已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。x-1012y12504/135.已知函数yf(x)在以下节点处的函数值，利用差商表求f(3)和f(3)的近似值。x134y2186.写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估－校正公式求解下列常微分方程的数值解。yx2y2(0x1,h0.2)y(0)05/13四、（8分）已知n+1个数据点(xi,yi)(i0,1,2,,n)，请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。6/13期末考试答案及评分标准（A卷）2007学年第二学期考试科目：数值分析一、判断题：（每小题2分，共10分）1.×2.√3.×4.×5.×二、填空题：（每空2分，共36分）1.0.0051020.5或0.5，2.5,26,153.0,24.1,0,1,35.(A)A6.(M)110421,1,7.10,228.yyn(xny)(1xny)y1.5xn2.5yn0.5,n0,1,2,n1n1n或n12三、解答题（第1～4小题每题8分，第5、6小题每题7分，共46分）1.（1）证明：f(x)x33x1，由于a)f(1)30,f(2)10,b)f(x)3x230(x(1,2)),c)f(x)6x0(x(1,2)),即f(x)在(1,2)上不变号，d)对于初值x02，满足f(2)f(2)0,所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（2）解：牛顿迭代法的迭代公式为7/13xn1xnf(xn)xnxn33xn1f(xn)3xn23⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分取初值x02进行迭代，得x11.8889,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分x21.8795.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分2.解：（1）Jacobi迭代公式为x1(k1)0.4x2(k)0.4x3(k)1x2(k1)0.4x1(k)0.8x3(k)2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分x3(k1)0.4x1(k)0.8x2(k)3Gauss-Seidel迭代公式为x1(k1)0.4x2(k)0.4x3(k)1x2(k1)0.4x1(k1)0.8x3(k)2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分x3(k1)0.4x1(k1)0.8x2(k1)30.40.4（2）Jacobi迭代矩阵的特征方程为0.40.80，展开得0.40.830.960.2560，即(0.8)(0.40.505)(0.40.505)0，从而得1-1.0928,20.8000,30.2928，（或由单调性易判断必有一个大于1的特征根，）因此迭代矩阵的谱半径等于必大于1，所以Jacobi迭代法发散。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分0.40.4Gauss-Seidel迭代矩阵的特征方程为0.40.80，展开得0.40.8(20.8320.128)0，解得10,20.628,30.204,迭代矩阵的谱半径小于1，所以Gauss-Seidel迭代法收敛。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分3.解：（1）建立差分表8/13xyy2y3y11304412132320⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分（2）建立牛顿后插公式为P2(x)03(x2)2(x2)(x1)1!2!3(x2)(x2)(x1)x24则所求近似值为P2(1.1)2.79⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（3）根据前三个节点建立牛顿后插公式为P2(1)(x)31(x1)4(x1)x1!2!3(x1)2x(x1)2x2x4则P2(1)(1.1)2.68根据事后误差估计法R2(x)x2P2(0.9)P2(1)(0.9)x1故截断误差R2(1.1)0.9(2.792.68)0.04712.1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分4.解：设所求二次最小平方逼近多项式为P2(x)a0a1xa2x2.根据已知数据，得111a011002,Aa1M11,Y1a2512409/13⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分则4268MM268,MY468186⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分建立法方程组为426a08268a146818a26⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分解得a03.5,a11.5,a21.5.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分从而得所求一次最小平方逼近多项式为P1(x)3.51.5x1.5x2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分5.解：设P2(x)为已知节点数据的插值二次多项式。构造如下差商表：xy一阶差商二阶差商1225487231P2[3,3]P2[4,3,3]3P2(3)P2[3,3]P2[3,3,3]3P2(3)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分因为二次多项式的二阶差商为常数，又P2(x)是f(x)的插值函数，故有P2[4,3,3]P25[3,3,3]2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分而P2[4,3,3]P2[3,3]75，342因此得10/139P2[3,3]，2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分由于f(k)(x)k!Pn[x,x,x,,x]，k1从而得f(3)P2[3,3]9,2f(3)2!P2[3,3,3]5.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分6.解：前进欧拉公式：yn1ynhf(xn,yn)yn0.2xn20.2yn2⋯⋯⋯⋯1分后退欧拉公式：yn1ynhf(xn1,yn1)yn0.2xn210.2yn21⋯⋯1分预估时采用欧拉公式yn*1yn0.2xn20.2yn2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分校正时采用后退欧拉公式yn1yn0.2xn210.2yn*21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分由初值知，节点分别为xi0.2i,(i1,2,3,4,5)0,h0.2x00,y0当x10.2,y1*y00.2x020.2y020,y1y00.2x120.2y1*20.008，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分当x20.4,y*2y10.2x120.2y120.0160,11/13y2y10.2x220.2y2*20.0401.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分当x30.6,y3*y20.2x220.2y220.0724,0.2x320.2y3*2y3y20.1131.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分当x40.8,y4*y30.2x320.2y320.1877,0.2x420.2y4*2y4y30.2481.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分当x51.0,y5*y40.2x420.2y420.3884,y5y42*20.2x50.2y50.4783.四、（8分）答：1、可以建立插值函数：（1）Newton基本差商公式Pn(x)f(x0)(xx0)f[x1,x0](xx0)(xx1)f[x2,x1,x0](xx0)(xx1)(xxn1)f[xn,,x1,x0]⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分（2）Lagrange插值多项式Ln(x)a0f(x0)a1f(x1)aif(xi)anf(xn)其中ai(xx0)(xxi1)(xxi1)(xxn)0,1,,n).(xix0)(xixi,(i1)(xixi1)(xixn)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分这两类插值函数的适用条件是：n不太大；而且要求函数严格通过已知数据点。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分2、可以建立拟合函数：12/13Pm(x)a0a1xa2x2amxm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分其中系数a0,a1,a2,,an满足法方程组MMAMY,1x0x02x0ma0f(x0)y01x1x12x1ma1f(x1)y1M,A,Y1xnxn2xnmamf(xn)yn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分拟合函数的适用条件是：n比较大，而且并不要求函数严格通过已知数据点，或者已知数据点本身的误差较大。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分13/13