线性代数期末考试试卷-答案合集详解

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）1.若022150131x，则__________。2．若齐次线性方程组000321321321xxxxxxxxx只有零解，则应满足。3．已知矩阵nsijcCBA)(，，，满足CBAC，则A与B分别是阶矩阵。4．矩阵323122211211aaaaaaA的行向量组线性。5．n阶方阵A满足032EAA，则1A。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分）1.若行列式D中每个元素都大于零，则0D。（）2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）3.向量组maaa，，，21中，如果1a与ma对应的分量成比例，则向量组saaa，，，21线性相关。（）4.0100100000010010A，则AA1。（）5.若为可逆矩阵A的特征值，则1A的特征值为。()三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)1.设A为n阶矩阵，且2A，则TAA（）。①n2②12n③12n④42.n维向量组s，，，21（3sn）线性无关的充要条件是（）。①s，，，21中任意两个向量都线性无关②s，，，21中存在一个向量不能用其余向量线性表示③s，，，21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④s，，，21中不含零向量3.下列命题中正确的是()。①任意n个1n维向量线性相关②任意n个1n维向量线性无关③任意1n个n维向量线性相关④任意1n个n维向量线性无关4.设A，B均为n阶方阵，下面结论正确的是()。①若A，B均可逆，则BA可逆②若A，B均可逆，则AB可逆③若BA可逆，则BA可逆④若BA可逆，则A，B均可逆5.若4321，，，是线性方程组0A的基础解系，则4321是0A的（）①解向量②基础解系③通解④A的行向量四、计算题(每小题9分，共63分)1.计算行列式xabcdaxbcdabxcdabcxd。解·3)(0000000001)(1111)(xdcbaxxxxdcbdcbaxdxcbdcxbdcbxdcbdcbaxdxcbdcbaxdcxbdcbaxdcbxdcbaxdcbdcbaxdxcbadcxbadcbxadcbax2.设BAAB2，且A,410011103求B。解.ABEA)2(111122112)2(1EA，322234225)2(1AEAB3.设,1000110001100011B2000120031204312C且矩阵满足关系式'(),XCBE求。4.问a取何值时，下列向量组线性相关？123112211,,221122aaa。5.为何值时，线性方程组223321321321xxxxxxxxx有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。①当1且2时，方程组有唯一解；②当2时方程组无解③当1时，有无穷多组解，通解为10101100221cc6.设.77103,1301,3192,01414321求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。7.设100010021A，求A的特征值及对应的特征向量。五、证明题(7分)若A是n阶方阵，且，IAA，1A证明0IA。其中I为单位矩阵。×××大学线性代数期末考试题答案一、填空题1.52.13.nnss，4.相关5.EA3二、判断正误1.×2.√3.√4.√5.×三、单项选择题1.③2.③3.③4.②5.①四、计算题1.3)(0000000001)(1111)(xdcbaxxxxdcbdcbaxdxcbdcxbdcbxdcbdcbaxdxcbdcbaxdcxbdcbaxdcbxdcbaxdcbdcbaxdxcbadcxbadcbxadcbax2.ABEA)2(111122112)2(1EA，322234225)2(1AEAB3.121001210012000112100121001200011234012300120001)(10002100321043211'1''BCEXBCBCBC，，4.)22()12(812121212121212321aaaaaaaa，，当21a或1a时，向量组321aaa，，线性相关。5.①当1且2时，方程组有唯一解；②当2时方程组无解③当1时，有无穷多组解，通解为10101100221cc6.0000110020102001131300161600241031217130104302410312171307311100943121)(4321aaaa，，，则34321aaaar，，，，其中321aaa，，构成极大无关组，321422aaaa7.0)1(1200100013AE特征值1321，对于λ1＝1，0200000001AE，特征向量为100001lk五、证明题AIAIAIAAAAIA∴02AI，∵0AI一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、设A，B为n阶方阵，满足等式0AB，则必有（）(A)0A或0B;(B)0BA；（C）0A或0B;(D)0BA。2、A和B均为n阶矩阵，且222()2ABAABB，则必有（）(A)AE；(B)BE；（C）AB.(D)ABBA。3、设A为nm矩阵，齐次方程组0Ax仅有零解的充要条件是（）(A)A的列向量线性无关；(B)A的列向量线性相关；（C）A的行向量线性无关；(D)A的行向量线性相关.4、n阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是（）(A)A的秩小于n；(B)0A；(C)A的特征值都等于零；(D)A的特征值都不等于零；二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵A的行列式5A，A是A的伴随矩阵，则A=。6、A为nn阶矩阵，且220AAE，则1(2)AE。7、已知方程组43121232121321xxxaa无解，则a。8、二次型2221231231213(,,)2322fxxxxxtxxxxx是正定的，则t的取值范围是。三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式1111111111111111xxDyy10、计算n阶行列式121212333nnnnxxxxxxDxxx四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程）11、若向量组123,,线性相关，向量组234,,线性无关。证明：(1)1能有23,线性表出；(2)4不能由123,,线性表出。12、设A是n阶矩方阵，E是n阶单位矩阵，EA可逆，且1()()()fAEAEA。证明（1）(())()2EfAEAE；（2）(())ffAA。五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤）13、设200032023A，求一个正交矩阵P使得1PAP为对角矩阵。14、已知方程组040203221321321xaxxaxxxxxx与方程组12321axxx　有公共解。求a的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1，2，3是它的三个解向量，且54321，432132求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C；2、D；3、A；4、A。二、填空题5、-125;6、2；7、-1；8、53t。三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：001111001111xxxDyyy第二列减第一列，第四列减第三列得：000110000101xxDyy（4分）按第一行展开得100001xDxyy按第三列展开得2201xDxyxyy。（4分）10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子niix13，再通过行列式的变换化为上三角形行列式2212113313nnnniinxxxxDxxx（4分）2110303003nniixxx1133nniix（4分）四、证明题11、证明：(1)、因为332,，线性无关，所以32，线性无关。，又321，，线性相关，故1能由32，线性表出。(4分)123()3r，，，（2）、（反正法）若不，则4能由321,，线性表出，不妨设3322114kkk。由（1）知，1能由32，线性表出，不妨设32211tt。所以3322322114)(kkttk，这表明432,，线性相关，矛盾。12、证明（1）1(())()[()()]()EfAEAEEAEAEA1()()()()()()2EAEAEAEAEAEAE（4分）（2）1(())[()][()]ffAEfAEfA由（1）得：11[()]()2EfAEA，代入上式得11111(())[()()]()()()()()222ffAEEAEAEAEAEAEAEA11()()22EAEAA（4分）五、解答题13、解：（1）由0EA得A的特征值为11，22，35。（4分）（2）11的特征向量为1011，22的特征向量为2100，35的特征向量为3011。（3分）（3）因为特征值不相等，则123,,正交。（2分）（4）将123,,单位化得101121p，2100p，301121p（2分）（5）取12301011,,0221102