线性代数与空间解析几何试卷答案及评分标准

线性代数与空间解析几何试卷答案及评分标准试卷号：B20130314一、单项选择题(将正确答案填在题中括号内，每小题4分,共20分)1、设),,(),,,(321321bbbBaaaA是两个三维向量，且609406203BAT,则TAB（B）.6A.9B.15C.12D2、下列矩阵中，（D）不是正交矩阵。）（A1001）（Bcossinsincos）（C21232321）（D222222223、二次型32232221321232),,(xtxxxxxxxf是正定的，则t的取值范围是（C）（A）55t(B)55tt或(C)66t(D)66tt或4、已知3阶方阵A的3个特征值分别为10，，则下列命题不正确的是（C））（A矩阵A为不可逆矩阵；）（B矩阵A与对角阵相似；）（C1和1所对应的特征向量是正交的；）（D方程组0Ax的基础解系由一个向量组成。5、直线:l182511zyx与平面:032zyx的夹角为(A)）（A6）（B4）（C3）（D2二、填空题(将正确答案填在题中横线上，每小题4分,共20分)1、设A为3阶矩阵，将A的第2列的2倍加到第1列上得到矩阵B,若矩阵987654321B,则矩阵A982365143252、设4阶矩阵A的秩为2，则其伴随矩阵A的秩)(AR0.3、设矩阵A满足042EAA,其中E为A同阶的单位矩阵，则1）（EAEA24、设矩阵20224312aA，若齐次线性方程组0Ax有非零解，则a2。5、曲面22yxz与平面1zyx的交线在xoy平面上的投影曲线方程为0122zyxyx。三、（10分）计算行列式3002543120037215D解：320023005134751230022003543172153132ccrrD5分10523223341210分四、(10分)解矩阵方程BXA,其中100083052A,111321B解:1000230581A,5分1000230581113211BAX13531210分五、(10分)求向量组0103111323,4211,24114321，的秩与一个极大无关组。解：011421032432111311A0000000025201311,………6分故24321，，，R,………8分21,是一个极大无关组。………10分六、(10分)设有两个齐次线性方程组：（Ⅰ）004221xxxx（Ⅱ）00432321xxxxxx（1）求方程组（Ⅰ）的基础解系；（2）方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？解：(1)方程组（Ⅰ）的系数矩阵10100011A,2)(AR,基础解系中含有两个线性无关的解向量：T）（0,1,0,01,T）（1,0,1,125分(2)将方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）联立得方程组，判断是否有解，对系数矩B阵进行初等变换化为阶梯形：00002100101000111110011110100011B，43)(BR,方程组有非零解，即方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）有非零公共解。10分七、（10分）已知直线l的一般方程为：08320432zyxzyx（1）将直线l的一般方程化为标准方程（点向式方程）；（2）直线l在yoz面上的投影直线l绕z轴旋转一周所得旋转曲面的方程。解：（1）在直线l上求一点)0,32(，M,直线l的方向向量：)2,3,0(2)4,6,0(32132121kjinns4分直线l的标准方程为：23302zyx5分（2）由直线l的一般方程消去x得yoz面上投影直线l的方程：0632zy7分直线l绕z轴旋转一周所得旋转曲面的方程为：063222zyx）（即)(4)2(9222yxz10分八、(10分)设2032A，求一个正交变换将二次型xAAxxxfTT)(),(21化为标准形解：二次型的矩阵为：13664AABT，2分解特征方程0161EB，得B的特征值为1612,1，4分当11时，解方程组0)(xEB，得基础解系121，单位化，得51521p6分当162时，解方程组0)16(xEB，得基础解系212，将其单位化得52512p，8分取52515152P则P为正交矩阵于是正交变换PYX将二次型化为标准型：222116yyf10分