一级倒立摆的课程设计

目录摘要...............................................................................................21．一阶倒立摆的概述.................................................................31.1倒立摆的起源与国内外发展现状.................................31.2倒立摆系统的组成.........................................................41.3倒立摆的分类：.............................................................51.4倒立摆的控制方法：.....................................................51.5本文研究内容及安排.....................................................61.6系统内部各相关参数为：.............................................62．一阶倒立摆数学模型的建立.................................................62.1概述.................................................................................62.2数学模型的建立.............................................................82.3一阶倒立摆的状态空间模型：...................................112.4实际参数代入：...........................................................123．定量、定性分析系统的性能...............................................133.1，对系统的稳定性进行分析........................................133.2对系统的稳定性进行分析：......................................154．状态反馈控制器的设计.......................................................164.1反馈控制结构...............................................................164.2单输入极点配置...........................................................164.3利用MATLAB编写程序............................................195．系统的仿真研究，校验与分析...........................................215.1使用Matlab中的SIMULINK仿真............................216．设计状态观测器，讨论带有状态观测器的状态反馈系统的性能。.................................................................................................266.1观测器的设计思路：...................................................266.2利用MATLAB进行编程............................................276.3状态观测器的仿真.......................................................29小结.............................................................................................32参考文献：.................................................................................33摘要倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。倒立摆也是机器人技术，控制理论，计算机控制等多个领域，多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定，多变量，强耦合的非线性系统。可以作为一个典型的被控对象对其进行研究。最初的研究开始于二十世纪50年代，专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆的一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量，非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出好的控制方法。倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。倒立摆的研究不仅具有深刻的理论意义，还有重要的工程背景，在多种控制理论与方法的研究中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的实验问题，使其理论与方法得到有效检验，倒立摆就能为此提供一个从理论通往实践的桥梁，目前，对倒立摆的研究也引起了国内外学者的广泛关注，是控制领域的热门课题之一。1．一阶倒立摆的概述1.1倒立摆的起源与国内外发展现状倒立摆的最初研究开始于二十世纪五十年代，麻省理工学院的控制理论专家根据火箭助推器原理设计出来一级倒立摆实验设备。倒立摆作为一个典型的不稳定，严重非线性例证被正式提出于二十世纪六十年代后期。国内，在倒立摆系统实验平台先后出现了多种控制算法。用状态空间法设计的比例微分控制器来实现单机倒立摆的稳定控制；利用最优状态调节器实现双电机三集倒立摆实物控制；用变结构方法实现倒立摆的控制。用神经网络的自学习模糊控制器的输入输出的对比，引起其他学者的关注，之后不断出现实时学习神经网络的方法来控制倒立摆。图1一级倒立摆1.2倒立摆系统的组成倒立摆系统由计算机，运动控制卡，伺服机构，传感器和倒立摆本体五部分构成。1.3倒立摆的分类：1，根据摆杆数目的不同，可以把倒立摆分为一级，二级和三级倒立摆等2，根据摆杆间连接形式不同，可以把倒立摆系统分为并联式倒立摆和串联式倒立摆；3根据运动轨道的不同，可以把倒立摆系统分为倾斜轨道倒立摆和水平轨道倒立摆；4根据控制电机的不同，可以把倒立摆分为多电机倒立摆和单电机倒立摆5根据摆杆与小车的连接方式不同，可以把倒立摆分为刚性摆和柔性摆6根据运动方式不同，可以把倒立摆分为平面倒立摆，直线倒立摆和旋转倒立摆。1.4倒立摆的控制方法：1）PID控制：该方法出现的最早，首先是对倒立摆系统进行力学分析，并在牛顿定律基础上得到运动方程，然后在平衡点附近对其进行线性化求出传递函数，最后在要求系统的特征方程应有全部左半平面的根的条件下，设计闭环系统控制器。2）状态反馈控制：极点配置法是在动态特性和稳态特性都满足的条件下，将多变量闭环倒立摆系统极点配置在期望的位置上，来设计状态反馈控制器3）线性二次型最优控制（LQR）LQR最优控制是通过寻找最佳状态反馈控制规律使期望的性能指标达到最小。1.5本文研究内容及安排倒立摆的控制算法多种多样，各种方法都有其各自的领域及重点，通过算法的比较，可以看出它们彼此之间的一些优缺点。本课程设计的被控对象采用固高公司生产的GIP-100-L型一阶倒立摆系统，选取稳定控制算法中的状态反馈极点配置设计，在分析了倒立摆的受力情况后，建立理论模型，由此推倒出系统的状态方程，并且对系统的性能进行定量、定性分析。配制出理想极点，设计状态反馈控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应满足性能指标要求。对设计的系统进行仿真研究、校验与分析，设计状态观测器，讨论带有状态观测器的状态反馈系统的性能。1.6系统内部各相关参数为：M小车质量0.5Kg；m摆杆质量0.2Kg；b小车摩擦系数0.1N/m/sec；l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3m；I摆杆惯量0.006kg*m*m；T采样时间0.005秒。2．一阶倒立摆数学模型的建立2.1概述倒立摆系统其本身是自不稳定系统，实验建模存在一些问题和困难，在忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统是一个典型的运动的刚体系统，可以再惯性坐标系中运用经典力学对它进行分析，来建立系统动力学方程。在忽略掉了空气阻力和各种摩擦力之后，可以讲一阶倒立摆系统抽象成小车和均匀杆组成的系统，一阶倒立摆系统的结构示意图如下：图2一阶倒立摆系统的结构示意图定义的参数为：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数I摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置摆杆与垂直向上方向的夹角l摆杆转动轴心到杆质心的长度摆杆与垂直向下方向的夹角（摆杆初始位置为竖直向下）得到小车和摆杆的受力图：图3小车和摆杆的受力图2.2数学模型的建立运用牛顿定理分析受力得到下列方程：（2-1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：（2-2）求导得到：（2-3）代入第一个方程得到：（2-4）在摆杆垂直方向上的合力进行分析得到方程：（2-5）即：（2-6）力矩平衡方程：（2-7）又因为为摆杆与垂直向下方向的夹角（摆杆初始位置为竖直向下），为摆杆与垂直向上方向的夹角，由和关系得合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：（2-8）微分方程的建立：因为，假设φ1弧度，则可以进行近似处理：来实现线性化。用上述近似进行线性化得直线一阶倒立摆的微分方程为：一阶倒立摆的传递函数模型：对上式进行拉普拉斯变换，得：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可得：或如果令，则有：把上式代入方程组（2-1）的第二个方程，得：（2-9）（2-10）（2-14）（2-11）（2-12）（2-13）整理后得到传递函数：其中。2.3一阶倒立摆的状态空间模型：设系统状态空间方程为：方程组（2-9）对解代数方程，得到解如下：整理后得到系统状态空间方程：（2-15）（2-16）（2-17）（2-18）2.4实际参数代入：GIP-100-L型一阶倒立摆系统，系统内部各相关参数为：M小车质量0.5Kg；m摆杆质量0.2Kg；b小车摩擦系数0.1N/m/sec；l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3m；I摆杆惯量0.006kg*m*m；T采样时间0.005秒。将上述参数代入得实际模型：摆杆角度和小车位移的传递函数：摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：以外界作用力作为输入的系统状态方程：（2-19）（2-21）（2-20）3．定量、定性分析系统的性能3.1，对系统的稳定性进行分析在MATLAB中运行以下程序：A=[0100;0-0.1818182.6727270;0001;0-0.45454531.1818180];B=[01.81818204.545455]';C=[1000;0010];D=[00]';[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D)z=-4.94970.0000+0.0000i4.94970.0000-0.0000ip=0（2-22）-5.6041-0.14285.5651k=1.81824.5455impulse(A,B,C,D）01234x1027To:Out(1)024681012012345x1028To:Out(2)ImpulseResponseTime(sec)Amplitude图4系统脉冲响应由图可得，系统在单位脉冲的输入作用下，小车的位移和摆杆的角度都是发散的，同时，由以上程序的零极点得极点有一个大于零，因此系统不稳定。3.2