2018年广东省珠海市高考数学二模试卷(理科)

试卷第1页，总23页2018年广东省珠海市高考数学二模试卷（理科）一.选择题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合𝐴={𝑥|𝑥−2𝑥+3≤0}，集合𝐵={0, 1, 2, 3, 4}，则𝐴∩𝐵=()A.{0, 1}B.{0, 1, 2}C.{−1, 0, 1, 2}D.{2}2.已知𝑎∈𝑅，𝑖为虚数单位，若(1+𝑖)(1+𝑎𝑖)是纯虚数，则𝑎=()A.2B.−2C.1D.−13.已知等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑎1=2，𝑎𝑛=−64，𝑆𝑛=−42，则公比𝑞等于（）A.−12B.−3C.−2D.44.已知0𝑎𝑏，且𝑎+𝑏=1，下列不等式中，一定成立的是（）①log2𝑎−1；②log2𝑎+log2𝑏−2；③log2(𝑏−𝑎)0；④log2(𝑏𝑎+𝑎𝑏)1．A.①②B.②③C.③④D.①④5.随机变量𝜉服从标准正态分布𝑁(0, 1)，已知𝑃(𝜉≤−1.96)=0.025，则𝑃(|𝜉|1.96)等于（）A.0.025B.0.050C.0.950D.0.9756.从1，3，4，6这四个数中随机取出两个数，则这两个数的和是2的倍数的概率是（）A.25B.16C.13D.127.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.43(2+3𝜋)B.43(2+𝜋)C.83(1+2𝜋)D.83(1+𝜋)8.设锐角△𝐴𝐵𝐶的三内角𝐴、𝐵、𝐶所对边的边长分别为𝑎、𝑏、𝑐，且𝑎=1，𝐵=2𝐴，则𝑏的取值范围为（）试卷第2页，总23页A.(√2, √3)B.(1, √3)C.(√2, 2)D.(0, 2)9.函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象如图所示，则𝑓(𝑥)的解析式可以是（）A.𝑦=1𝑥+𝑥2B.𝑦=ln𝑥𝑥C.𝑦=𝑒𝑥𝑥D.𝑓(𝑥)=𝑥3+ln|𝑥|10.已知𝐹是双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0, 𝑏0)的右焦点，𝑃是𝑦轴正半轴上一点，以𝑂𝑃为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点𝑀，若点𝑃，𝑀，𝐹三点共线，且△𝑀𝐹𝑂的面积是△𝑃𝑀𝑂面积的4倍，则双曲线𝐶的离心率为（）A.√3B.√5C.√6D.√711.现有𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝐸，𝐹六支足球队参加单循环比赛（即任意两支球队只踢一场比赛），第一周的比赛中，𝐴，𝐵各踢了3场，𝐶，𝐷各踢了4场，𝐸踢了2场，且𝐴队与𝐶队未踢过，𝐵队与𝐷队也未踢过，则在第一周的比赛中，𝐹队踢的比赛的场数是（）A.1B.2C.3D.412.已知函数𝑓(𝑥)={ln𝑥,1𝑒≤𝑥1−𝑒ln𝑥,1≤𝑥≤𝑒2，若方程𝑓(𝑥)=𝑘𝑥在𝑥∈[1𝑒, 𝑒2]上有两个不同的实根，其中𝑒为自然对数的底数，则实数𝑘的取值范围是（）A.[−𝑒, −1)B.(−1, −2𝑒)C.[−𝑒, 0)D.{−1}∪(−2𝑒, 0)二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知角𝛼的终边经过点𝑃(4, −3)，则2sin𝛼+cos𝛼=________．(𝑥+1𝑥+2)5的展开式中，𝑥2的系数是________．（用数字作答）执行如图所示的程序框图，如果输入的𝑡∈[−1, 1]，则输出的𝑆取值区间________．试卷第3页，总23页给出下列命题：①存在实数𝑥，使sin𝑥+cos𝑥=32；②函数𝑦=𝑠𝑖𝑛2𝑥−sin𝑥sin𝑥−1是奇函数；③函数𝑦=|sin𝑥−12|的周期是𝜋；④函数𝑦=ln|𝑥−1|的图象与函数𝑦=−2cos(𝜋𝑥)(−2⩽𝑥⩽4)的图象所有交点的横坐标之和等于6．其中正确命题的序号是________（把正确命题的序号都填上）三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.数列{𝑎𝑛}满足∀𝑛∈𝑁∗都有𝑎1⋅𝑎2⋅𝑎3...𝑎𝑛=𝑛2+𝑛．（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；（2）设𝑏𝑛=𝑎𝑛+1−𝑎𝑛，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛．高二某班选出甲乙两位学生参加数学素养知识竞赛，在决赛前举行了预赛：（1）若预赛共进行了12次测试，甲乙两人成绩分别如表：甲587692678956857568758475乙857092819268737556655192①完成答题卡中的茎叶图，分别答出甲乙两人成绩的众数，中位数，平均数；②比较两人的方差，𝑆甲2与𝑆乙2哪个较大？③若已经知道决赛成绩至少92分才能获奖，你判断选谁参加决赛更合适？请说明理由．（2）若预赛命题组只准备八道题目，每人随机抽出四道题目回答，若至少答对三道题目者方可参加决赛，已知甲只能答对其中六道题，乙答对每题的概率都为34，试求出甲，乙答对题目数的期望，方差及答对至少三道题目的概率．（结果保留最简分数）如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷是直角梯形，∠𝐴𝐵𝐶=90∘，𝐵𝐶=2𝐴𝐷=2𝐴𝐵=2，𝑃𝐵⊥𝑃𝐶，𝑃𝐷=√2．（1）求证：平面𝑃𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷；试卷第4页，总23页（2）若𝑃𝐶=𝑃𝐵，求二面角𝐴−𝑃𝐶−𝐷的余弦值．已知椭圆𝐶1:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)的离心率为𝑒，与双曲线𝐸:𝑥2−𝑦2=2有共同焦点，且与直线𝑦=2√3相切，设抛物线𝐶2:𝑥2=4𝑒𝑦，求：（1）椭圆𝐶1，抛物线𝐶2的标准方程；（2）直线𝑙与抛物线𝐶2相切，切点为𝐷(𝑥0, 𝑥024𝑒)(𝑥00)，𝑙与椭圆𝐶1交于𝐴，𝐵两点，与𝑦轴交于点𝑀(0, 𝑦𝑀)，𝐴𝑀→=𝜆𝐴𝐷→，𝐵𝑀→=𝜇𝐵𝐷→，当−12≤𝑦𝑀0时，求𝜆+𝜇的取值范围．已知函数𝑓(𝑥)=𝑚ln𝑥+𝑥2−2(𝑚+1)𝑥．（1）若𝑚=1时，讨论函数𝑓(𝑥)的极值点；（2）在𝑒−2≤𝑚≤𝑒2时，函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−12𝑥2+(𝑚+1)𝑥有两个极值点𝑥1，𝑥2(𝑥1𝑥2)，若实数𝑎，𝑏满足𝑎𝑏且𝑎，𝑏∈(𝑥1, 𝑥2)，求证：0|𝑔(𝑎)−𝑔(𝑏)|𝑒42−2𝑒2−12．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，以坐标原点为极点，𝑥轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线𝐶1的极坐标方程为𝜌cos𝜃=4．（Ⅰ）𝑀为曲线𝐶1上的动点，点𝑃在线段𝑂𝑀上，且满足|𝑂𝑀|⋅|𝑂𝑃|=16，求点𝑃的轨迹𝐶2的直角坐标方程；（Ⅱ）设点𝐴的极坐标为(2,𝜋3)，点𝐵在曲线𝐶2上，求△𝑂𝐴𝐵面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]已知函数∫(𝑥)=|𝑥+𝑎2|+|𝑥−𝑎−1|．（1）证明：𝑓(𝑥)≥34；试卷第5页，总23页（2）若𝑓(4)13，求𝑎的取值范围．试卷第6页，总23页参考答案与试题解析2018年广东省珠海市高考数学二模试卷（理科）一.选择题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】化简集合𝐴，根据交集的定义写出𝐴∩𝐵．【解答】集合𝐴={𝑥|𝑥−2𝑥+3≤0}={𝑥|−3𝑥≤2}，集合𝐵={0, 1, 2, 3, 4}，则𝐴∩𝐵={0, 1, 2}．2.【答案】C【考点】虚数单位i及其性质复数的运算复数的模复数的基本概念【解析】根据复数代数形式的运算法则，利用纯虚数的定义，列方程求出𝑎的值．【解答】(1+𝑖)(1+𝑎𝑖)=(1−𝑎)+(1+𝑎)𝑖，且(1+𝑖)(1+𝑎𝑖)是纯虚数，∴{1−𝑎=01+𝑎≠0，解得𝑎=1．3.【答案】C【考点】等比数列的通项公式等比数列的前n项和【解析】直接利用数列的前𝑛项和公式求出公比的值．【解答】等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑎1=2，𝑎𝑛=−64，𝑆𝑛=−42，设数列的公比为𝑞，根据数列的前𝑛项和公式：𝑆𝑛=𝑎1−𝑎𝑛𝑞1−𝑞，试卷第7页，总23页则：−42=2+64𝑞1−𝑞，解得：𝑞=−2．4.【答案】C【考点】对数的运算性质【解析】利用对数性质、均值定理、函数性质和特值法求解．【解答】∵0𝑎𝑏，且𝑎+𝑏=1，∴当𝑎=13，𝑏=23时，log2𝑎=𝑙𝑜𝑔213𝑙𝑜𝑔212=−1，故①错误；∵0𝑎𝑏，且𝑎+𝑏=1，∴1=𝑎+𝑏2√𝑎𝑏，即𝑎𝑏14，∴log2𝑎+log2𝑏log214=−2，故②错误；∵0𝑎𝑏，且𝑎+𝑏=1，∴0𝑏−𝑎1，∴log2(𝑏−𝑎)log21=0，故③正确；∵0𝑎𝑏，且𝑎+𝑏=1，∴𝑏𝑎+𝑎𝑏2√𝑏𝑎⋅𝑎𝑏=2，∴log2(𝑏𝑎+𝑎𝑏)log22=1，故④正确．5.【答案】C【考点】正态分布的密度曲线【解析】根据正态分布的对称性即可得出答案．【解答】解：∵𝜉∼𝑁(0, 1)，∴𝑃(𝜉1.96)=𝑃(𝜉−1.96)=0.025，∴𝑃((|𝜉|1.96)=𝑃(−1.96𝜉1.96)=1−0.025×2=0.950．故选𝐶.6.【答案】C【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数𝑛=𝐶42=6，再利用列举法求出这两个数的和是2的倍数包含的基本事件有2个，由此能求出这两个数的和是2的倍数的概率．试卷第8页，总23页【解答】从1，3，4，6这四个数中随机取出两个数，基本事件总数𝑛=𝐶42=6，这两个数的和是2的倍数包含的基本事件有：(1, 3)，(4, 6)，共2个，则这两个数的和是2的倍数的概率是𝑝=26=13．7.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是两个三棱锥，下面是一个倒立的圆锥．【解答】由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是两个三棱锥，下面是一个倒立的圆锥．则该几何体的体积=2×13×12×22×2+13×𝜋×22×4=83(1+2𝜋)．8.【答案】A【考点】正弦定理【解析】由题意可得02𝐴𝜋2，且𝜋23𝐴𝜋，解得𝐴的范围，可得cos𝐴的范围，由正弦定理求得𝑏𝑎=𝑏=2cos𝐴，根据cos𝐴的范围确定出𝑏范围即可．【解答】锐角△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴、𝐵、𝐶所对的边分别为𝑎、𝑏、𝑐，𝐵=2𝐴，∴02𝐴𝜋2，且𝐵+𝐴=3𝐴，∴𝜋23𝐴𝜋．∴𝜋6𝐴𝜋4，∴√22cos𝐴√32，∵𝑎=1，𝐵=2𝐴，∴由正弦定理可得：𝑏𝑎=𝑏=sin2𝐴sin𝐴=2cos𝐴，∴√22cos𝐴√3，则𝑏的取值范围为(√2, √3)．9.【答案】试卷第9页，总23页C【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可．【解答】根据图象可知：函数图象在第三象限，𝑥0，∴𝐵排除．对于𝐴，𝑦′=−1𝑥2+2𝑥=2𝑥3−1𝑥2，令𝑦′=0，解得：𝑥=√123，而函数的极值点是1，故排除𝐴，对于𝐶，𝑦′=𝑒𝑥(𝑥−1)𝑥2，函数的极值点是1，符合题意；对于𝐷，𝑥0时，函数𝑦=𝑥3+ln𝑥，在(0, +∞)递增，故排除；10.【答案】B【考点】双曲线的特性【解析】由题意可得|𝑀𝐹|=4|𝑀𝑃|，𝑂𝑀⊥𝑃𝐹，设𝐹(𝑐, 0)，求