数字信号处理参考试题3

第三章离散傅里叶变换1.如图P3-1所示，序列)(nx是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。图P3-1解：由nkjnnnkenxWnxkX6250~506~~)()()(kjkjkjkjkjeeeee562462362262621068101214计算求得60)0(~X,339)1(~jX,33)2(~jX0)3(~X,33)4(~jX,339)5(~jX2.设)()(4nRnx，6~))(()(nxnx，试求)(~kX，并作图表示)(~nx，)(~kX。解：由kjkjkjnkjnnnkeeeenxWnxkX3236250~506~~1)()()(计算求得4)0(~X,3)1(~jX,1)2(~X0)3(~X,1)4(~X,3)5(~jX)(~nx，|)(|~kX如图P3-2所示。图P3-23.设nnnnx其他,040,1)(，)2()(4nRnh令6~))(()(nxnx，6~))(()(nhnh，试求)(~nx与)(~nh的周期卷积并作图。解：在一个周期内的计算值mmnhmxnhnxny)()()()()(~~~~~)(~nxN)(~mnh123450)(~ny00111101410011111221001111031100118411100165111100104.已知)(nx如图P3-4(a)所示，为｛1，1，3，2｝，试画出5))((nx，)())((66nRnx，)())((33nRnx，6))((nx，)())3((55nRnx，)())((77nRnx等各序列。解：各序列如图P3-4（b）所示。图P3-3图P3-4（a）图P3-4（b）5.试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式）：(1))()cos()(0nRnanxN(2))()(nRanxNn(3)Nnnnnx000),()((4))()(nnRnxN(5))()(2nRnnxN解：（1）因为)()cos()(0nRnanxN，所以)()(21)()cos()(102102000kReeeakRenakXNNnnkNjnjnjNnNnkNj)(2110210200kReeaNNnnkNjNnnkNj)(111121000022kReeeeaNkNjNjkNjNj)()()()(21000000000000221221221222221221221222kNjkNjkNjNjNjNjkNjkNjkNjNjNjNjeeeeeeeeeeeea02210202210221sin21sin21sin21sin210000kNeNekNeNeakNjNjkNjNj（2）因为)()(nRanxNn，所以102211)(NnkNjNnkNjnaeaeakX（3）因为Nnnnnx000),()(，所以knNjNnnkNjNnnkNjeennenxkX021020102)()()(（4）因为)()(nnRnxN，所以10)1(10)()(,)()(NnNknNkNNnNnkNkRnWkXWkRnWkX)()(11)1()())1(()()]1)2(2(132[)()()1)((11)1(22)1(3210)1(10kNRkRWWNkRWNkRNWN）（所以)(1)(kRWNkXNkN（5）由)()(2nRnnxN，则102)()(NnNnkNkRWnkX根据第（4）小题的结论)()(1nnRnxN则)(1)(10kRWNnWkXNkNNnnkNkNNnnkNNnnkNkNNkNkNkNNkNkNkNNnknNNnnkNkNWNNNkXNNnWNNWnNNWN12)2()(2)2(2)2()12()1(])1(24[194)1)((1111122)1(232)1(23210)1(2102）（）（所以10,)1()2()(22NkWNWNNkXkNkN6.如图P3-6(a)画出了几个周期序列)(~nx，这些序列可以表示成傅里叶级数10)/2(~~)(1)(NknkNjekXNnx问：（1）哪些序列能够通过选择时间原点使所有的)(~kX成为实数？（2）哪些序列能够通过选择时间原点使所有的)(~kX）（除)0(~X外）成为虚数？（3）哪些序列能做到)(~kX＝0，k=±2，±4，±6，…图P3-6（a）解：（1）要使)(~kX为实数，即要求)()(~~*kXkX根据DFT的性质，)(~nx应满足实部偶对称，虚部奇对称（以n=0为轴）。又由图知，)(~nx为实序列，虚部为零，故)(nx应满足偶对称)()(~~nxnx即)(~nx是以n=0为对称轴的偶对称，可看出第二个序列满足这个条件。如图P3-6(b)所示。图P3-6（b）（2）要使)(~kX为虚数，即要求)()(~~*kXkX根据DFT的性质，)(~nx应满足实部奇对称，虚部偶对称（以n=0为轴）。又已知)(~nx为实序列，故)()(~~nxnx即在一个周期内，)(~nx在一圆周上是以n=0为对称轴的奇对称，所以这三个序列都不满足这个条件。（3）由于是8点周期序列，对于第一个序列有kjkkjkjnnkjeeeekX4430821~11111)(当。时，0)(6,4,2~1kXk对于第二个序列有kjkjnnkjeeekX4432041~11)(当。时，0)(6,4,2~1kXk对于第三个序列有)4()()(~1~1~3nxnxnx根据序列移位性质可知kjkkjkjeekXekXkX4~1~1~3111)1()()()(当。时，0)(6,4,2~3kXk综上所得，第一，第三个序列满足,4,2,0)(~kkX7.在图P3-7(a)中画了两个有限长序列，试画出它们的六点圆周卷积。图P3-7（a）解：)())(()()(650621nRmnxmxnym结果如图P3-7(b)所示。图P3-7（b）8.图P3-8(a)表示一个5点序列)(nx。（1）试画出)(*)(nxnx；（2）试画出)()(n⑤xnx；（4）试画出)()(n⑩xnx；图P3-8（a）解：个小题的结果分别如图P3-8(b)，P3-8(c),，P3-8(d)所示。图P3-8（b）图P3-8（c）图P3-8（d）9.设有两个序列nnnxnx其他,050),()(nnnyny其他,0140),()(各作15点的DFT，然后将两个DFT相乘，再求乘积的IDFT，设所得结果为)(nf，问)(nf的哪些点（用序号n表示）对应于)(*)(nynx应该得到的点。解：序列)(nx的点数为N1=6，y(n)的点数为N2=15，故)(*)(nynx的点数应为20121NNN又)(nf为)(nx与)(ny的15点的圆周卷积，即L=15。所以，混叠点数为N-L=20-15=5。即线性卷积以15为周期延拓形成圆周卷积序列)(nf时，一个周期内在n=0到n=4(=N-L-1)这5点出发生混叠，即)(nf中只有n=5到n=14的点对应于)(*)(nynx应该得到的点。10.已知两个有限长序列为64,030,1)(nnnnx65,140,1)(nnny试作图表示)(nx，)(ny以及)()()(n⑦ynxnf。解：结果如图P3-10所示。图P3-1011.已知)(nx是N点有限长序列，)]([)(XnxDFTk。现将长度变成rN点的有限长序列)(ny1,010),()(rNnNNnnxny试求rN点DFT［y(n)］与X［k］的关系。解：由10,)()]([)(X102NkenxnxDFTkNnnkNj可得1,,1,0,,)()()()]([)(Y1021010NllrkrkXenxWnxWnynyDFTkNnrknNjrNnNnnkrNnkrN所以在一个周期内，)(kY的抽样点数是)(kX的r倍（)(kY的周期为Nr），相当于在)(kX的每两个值之间插入r-1个其他的数值（不一定为零），而当k为r的整数l倍时，)(kY与rkX相等。12.已知)(nx是N点的有限长序列，)]([)(XnxDFTk，现将)(nx的每两点之间补进r-1个零值点，得到一个rN点的有限长序列)(nyn,01,,1,0,,),/()(其他Niirnirnrnxny试求rN点DFT［y(n)］与X［k］的关系。解：由10,)()]([)(10NkWnxnxDFTkXNnnkN可得10,)()()]([)(101010rNkWixWrirxWnynyDFTkYrNnNiikNirkrNNinkrN而)())(()(kRkXkYrNN所以)(kY是将)(kX(周期为N)延拓r次形成的，即)(kY周期为rN。13.频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样，计算了512各抽样的DFT，试确定频谱抽样之间的频率间隔，并证明你的回答。证明：由2,200Ffss得00ssFf其中s是以角频率为变量的频谱的周期，0是频谱抽样之间的频谱间隔。又NFfss00则NfFs0对于本题有512,8NkHzfsHzF625.155128000014.设由一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力≤10Hz，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms，试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理的信号的最高频率；（3）在一定记录中的最好点数。解：（1）因为001FT，而HzF100，所以sT1010而最小记录长度为0.1s。（2）因为kHzTf10101.01130，而hsff2所以kHzffsh521即允许处理的信号的最高频率为5kHz。（3）1000101.01.030TTN，又因N必须为2的整数幂，所以一个记录中的最少点数为1024210N。15.序列)(nx的共轭对称和共轭反对称分量分别为)]()([21)(*nxnxnxe，)]()([21)(*nxnxnxo长度为N的有限长序列)(nx（0≤n≤N-1）的圆周共轭对称和圆周共轭反对称分量分别定义如下：)(]))(())(([21)(*nRnxnxnxNNNep)(]))(())(([21)(*nRnxnxnxNNNop（1）证明)()]()