概率论(仅供参考)

前言由于汤老师不给力，下面由刘老师来为你们划重点内部使用，仅供参考，不承当任何后果。参考：课本课件第一章该章概型和公式比较多，每个都配上了一个例题便于理解第一节重点：德·摩根律公式交换律：A∪B=B∪A，AB=BA结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C）（A∩B)∩C=A∩(B∩C）分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C）德·摩根律ABABABAB第二节频率性质1.样本任意一事件概率不小于0（非负性）2.样本事件概率和为1（规范性）3.如果AB互斥()()()nnnfABfAfB4.如果AB不排斥()()()()nnnnfABfAfBfAB5.()1().PAPA第三节古典概型性质1.样本空间中样本点有限，既事件有限2.样本点概率等可能发生3.()kAPAn中所含的基本事件数基本事件总数例题排列组合问题（要是考应该不会太难）几何概型求法：1.求出状态方程2.根据定义域画图3.求概率=阴影面积/总面积第四节条件概型公式：()()()()(|).()()()()ABABPABPABBBPB条件概率满足概率的一切性质既非法性，规范性，可加性例题全概率公式11()()()()nniiiiiPBPBAPAPBA例题书p25贝叶斯公式1()(|)(|)()(|)iiiniiiPAPBAPABPAPBA第五节独立性如果AB事件独立()()()PABPAPB若多事件相互独立，理论仍然成立贝努利概型既服从二项分布模型抽取n次的组合次数第二章重点章节，几大分布都是后几章的基础第二节离散型随机变量及其分布律1.两点分布、0﹣1分布既随机变量X只可能取0或1两个值，事件执行一次只有两种情况，例如抛硬币记为X~b（1，p）p表示事件的概率，样本点个数为1,并且1-p表示相反事件概率2.二项分布（应用于上章的贝努利概型）与0-1分布类似，事件执行n次，记为X~b（n，p）p表示事件的概率样本点个数为n3.泊松分布{}e,0,1,2,,!kPXkkk记为X~π(λ)，如果出题，应该会标明是泊松分布，或者给出明确的二项分布X~b（n，p）当n充分大，p充分小时，对于任意固定的非负整数k，与泊松分布概率近视相等，并且=nb（数学期望相等）4.几何分布既抽取问题中可放回情况，该分布具有无记忆性-1{}(1),1,2,kPXkppk5.超几何分布既抽取问题不放回情况12{},0,1,2,knkNNnNCCPXkkC第三节随机变量及其分布随机变量分布（感觉这个知识点必考，虽然不知道会是什么题）求事件概率公式，p511.已知分布函数求分布律，并求事件概率（习题2第一题）根据公式000{}(0)(0)PXxFxFx求出各个点的概率，并画出分布表，求事件概率可以不会套公式，可以直接看表。2.已知分布律求发布函数（p52，例题）第四节连续型随机变量及其概率密度连续型分布函数几何意义：为连续型概率密度函数的面积所以两者转化与积分有关题型：1.已知概率密度函数，求常数c（p55例题）根据公式()()d1Fxftt2.分布函数求密度函数（习题28题）对分布函数求导3.已知密度函数求分布函数()()dxFxfttx均匀分布密度函数1,,()0,,axbfxba其他记为X~U（a，b）分布函数0,,(),,1,.xaxaFxaxbbaxb指数分布密度函数：.e,0,()0,xxfx其他记为X~E(λ)分布函数.1e,0,()0,xxFx其他经常用来描述寿命问题正态分布（必考）（高斯分布）密度函数：22()21()e,,2xfxx记为X~N(μ,σ2).正态分布密度函数性质书上p60也了解根据公式：()xFx可进行查表来求分布律根据事件概率公式可求：例如()()()PaXbFbFaba正态分布可以看出许多分布的近似分布第五节随机变量函数的分布1.离散型2.连续型公式:()|()|(())XYfyhyfhy（p67例题）例如：已知密度函数fx（x），求Y=X+1的密度函数1.求Y=X+1的反函数：h（y）=Y-12.套用公式()|()|(())XYfyhyfhy3.|()|hy的正负于Y=X+1单调性有关，严格单调递增为+，严格单调递减为-第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量二维变量的联合发布函数(,){,}FxyPXxYy性质：对于固定的x，y(,)lim(,)0xFyFxy(,)lim(,)0yFxFxy(,)lim(,)0xyFFxy(,)lim(,)1.xyFFxy公式：221221111212()()()()(,,)0,,,PxXxFxyFxyFxyFyYyxx二维离散型随机变量可以根据其分布规律，用表格表示二维连续型随机变量(,)(,)xyFxyfuvdvdu性质：(1)(,)0;fxy(2)(,)dd1;fxyxy该性质用于求函数2(,)(3)(,);Fxyfxyxy(4){(,)}(,)dd.GPXYGfxyxy（G为平面的一区域）二维均匀分布1(,)(,)0xyGAfxy其他区域公式：()1{(,))(,)DDSDPXYDfxydxdydxdyAA第二节边缘分布既把x或者y边缘化二维离散型随机变量的函数的分布书p84例题二维连续型随机变量的函数分布第三节条件分布P89例题离散型随机变量的条件分布律{,}{|},1,2,{}ijijijjjPXxYypPXxYyiPYyp既联合分布律的固定样本点/边缘分布的固定样本点P90例题连续型随机变量的条件分布密度求法;1.求出X，Y的边缘密度函数2.根据条件分布公式，求出条件密度函数3.求分布密度P92页例题第四节相互独立的随机分布若X,Y相互独立，由定义知(,)()(),,XYFxyFxFyxyR，既边缘分布之积求法：书p95例题第五节两个随机变量函数的分布离散型二维随机变量的函数分布求法：1.列表2.对应概率值合并P97页例题连续型二维随机变量的函数分布没懂P99第四章随机变量的数组特征第一节数学期望（必考）既样本的平均值离散型随机变量的数学期望1kkkEXxp连续型随机变量的数学期望()EXxfxdx考试真题样本满足概率密度分布函数f（x）=cx30x11.求c2.E（x）解：第一问()1fxdx=1301cxdx=1/4*c=1解得c=4第二问E（x）=()xfxdx=1304xxdx=4/5随机变量函数的数学期望例如E（3x+1）的数学期望离散型：1(31)iiixp连续型：(31)()xfxdx数学期望性质：.1.EC=0（c为常数）2.().ECXCEX3.().EXYEXEY4.().EXYEXEY常见数学期望：1.二项分布X~b（n，p）数学期望为np2.几何分布数学期望为1/p3.指数分布X~E(λ)数学期望为1/4.正太分布X~N(μ,σ2).数学期望为μ5.泊松分布X~π(λ)数学期望为第二节方差对数学期望的偏差值求法:DX=E(X–EX)2DX为标准差或者叫均方差常用公式：22()DXEXEX真题样本满足概率密度分布函数f（x）=4x30x13.求D（x）解：D（x）=22()DXEXEX=11233200*4(*4)xxdxxxdx=2/75常用方差泊松分布X~π()方差：正态分布X~N(,2)方差2均匀分布X~U(a,b)方差2()12ba指数分布X~E(λ)方差21.二项分布X~b(n,p)方差(1)npp方差性质：D(aX+b)=a2DXD(c)=0第三节协方差与关系系数协方差对于二维随机变量（x,y）,当x，y不相互独立时，xy之间用协方差来描述其中关系()()()2cov(,)DXYDXDYXY协方差公式：cov(,)()()XYEXEXYEY协方差性质：1.cov(,)cov(,)XYYX()*EXYEXEY2.cov(,)cov(,)aXbYabXY3.cov(,)cov(,)cov(,)XYZXZYZ4.cov(,)XXDX5.2cov(,)|XYDXDY相关系数X，y的相关系数公式：cov(,)()()XYXYDXDY若其为0表示xy不相关离散型求相关系数：11cov(,)[()][()]ijijijXYxEXyEYp连续型求相关系数：cov(,)[()][()](,)ddXYxEXyEYfxyxyP137页例题第四节矩与协方差矩阵矩：对于随机变量x(1,2,)kkEXk存在，称μk为X的k阶原点矩()(2,3,)kkmEXEXk存在,称mk为X的k阶中心矩下一章要用到第五章大数定理与中心极限定理第一节大数定理切比雪夫不等式22{}.PX或者：22{}1.PX不太懂，记下公式，例题p145大数定理书上一箩筐看不懂的大数定理证明就是说明了一个东西，在n（样本基数）足够大的时候，算术平方根几乎是一个常数，无限趋近于数学期望书上和ppt上都没例题，基本上不要考第二节中心极限定理中心极限定理多个独立随机变量满足同一分布，并且具有相同的方差和数学期望，其极限近似与正态分布公式：1111()()nnnkkkkkknnkkXEXXnYnDX例题德莫佛-拉普拉斯定理该定理表明,正态分布是二项分布的极限分布~(,),nbnp对于充分大的n近似有n~(,(1))Nnpnpp的状态分布既数学期望和与方差和第六章样本及抽样分布第一节简单随机抽样（代表性与独立性）若总体的分布密度函数为f(x),则样本的联合密度函数为121(,,,)().nniifxxxfx（表示累乘）经验分布函数P161例题第二节抽样分布这节课逃了，没听，好烦，根本看不懂第七章参数估计第一节矩估计参数是刻画总体某方面概率特性的数量.例如，X~N(,2),若,2未知,通过构造样本的函数,给出它们的估计值或取值范围就是参数估计的内容点估计，估计未知参数的值区间估计，范围设总体的r阶矩存在，记为12()(,,,)rrkEX样本X1,X2,…,Xn的r阶矩为11nrriiAXn经典例题例题第二节极大似然估计求法设P（x）为概率函数似然函数：11221(,,,)(;)nnniiPXxXxXxpx对数似然函数：既在其左右加对数然后令其为0，求极大值例题：第三节估计量的评选标准设总体服从任意分布，Ex=μ,Dx=σ2既得样本平均值：x，方差为S2既x为μ的无偏估计量，S2为σ2的无偏估计量根据性质：Ex（平均值）=μES2=σ2Dx（平均值）=Dx/n第四节区间估计置信度：1置信区间求法求出，根据置信度查正态分布表求出u/2计算公式：2200,XuXunn如果0未知，用方差S来代替，然后查t表22(1),(1)SSXtnXtnnn第八章假设检验看书考点（必考）P1117题X0123Y00.840.030.020.0110.060.010.0080.00220.010.0050.0040.001求1.在Y=1的情况下，X的分布律2.X=2的条件下，Y的分布规律P14321题X-2-112Y100.250.25040.25000.25证明XY不相关也不独立求出边缘分布规律X边缘分