大学普通物理学经典讲义——刚体转动

第五章刚体的转动教学基本要求一理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系.二理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理.三理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题.四理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律一刚体§5.1刚体转动的描述1定义：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体.note：1）理想化模型。2）刚体运动时，各质点之间的相对距离不发生变化。3）视为内力无穷大的特殊质点系。2刚体的运动形式：平动、转动.刚体平动质点运动1）平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线.2）转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.转动又分定轴转动和非定轴转动.刚体的平面运动.3)刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+x二刚体转动的角速度和角加速度z参考平面)(t)()(ttt角位移)(t角坐标00约定r沿逆时针方向转动r沿顺时针方向转动tttddlim0角速度矢量方向:右手螺旋方向参考轴角加速度tdd1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2）任一质点运动均相同，但不同；3）运动描述仅需一个坐标.,,a,v定轴转动的特点刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示.00zz三匀变速转动公式刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxavvt0)(2020222100tt当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比四角量与线量的关系tervrtev2ntraratanan2tereratddtt22dddda飞轮30s内转过的角度radπ75)6π(2)π5(22202210srad6πsrad30π50t例1一飞轮半径为0.2m、转速为150r·min-1，因受制动而均匀减速，经30s停止转动.试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后t=6s时飞轮的角速度；（3）t=6s时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度.解（1）,sradπ510.0t=30s时，设.飞轮做匀减速运动00时，t=0s（2）s6t时，飞轮的角速度110sradπ4srad)66ππ5(t（3）s6t时，飞轮边缘上一点的线速度大小22sm5.2smπ42.0rv该点的切向加速度和法向加速度22tsm105.0sm)6π(2.0ra转过的圈数r5.37π2π75π2N2222nsm6.31sm)π4(2.0rasinMFdFr刚体绕Oz轴旋转,力作用在刚体上点P,且在转动平面内,为由点O到力的作用点P的径矢.FrFrM一力矩Pz*OMFrdM2转动定律力臂：从O点到作用线的垂直距离d叫力臂。FF力矩为：力的大小和力臂的乘积，叫做力对转轴Z的力矩。M是一矢量。大小：sinMFr方向：右手螺旋。思考：与Z轴平行的力在Z轴上的力矩等于多少？作用线过Z轴的力在Z轴上的力矩等于多少？判断：平行于Z轴的力对Z轴的力矩一定是0，垂直于Z轴的力对Z轴的力矩一定不为0.zOkFr讨论FFFzFrkMzsinrFMzzFF1）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量F2）合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩zFF0,0iiMF0,0iiMFFFFF结论：刚体所受的合力为0是，刚体的合力矩可以为0，也可以不为0.当合力矩为0时，合力不一定为0.T1T13）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiMOrmz二转动定律FtFnFsinrFMmrmaFtt2iejjjjrmMM2）刚体质量元受外力，内力jFejFiM1）单个质点与转轴刚性连接m外力矩内力矩2mrM2tmrrFMOzjmjrjFejFi刚体所受的对于某一固定轴的合力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合力矩作用下所获得的角加速度的乘积。αrmMMjjjjjj2ie0jijjiijMMM)αrmMjjjj2e(转动定律JM2jjjrmJ定义转动惯量mrJd2OzjmjrjFejFiNote：1）转动定律中的各量均对同一转轴。2）此方程式类似于。FmaMFJma说明力矩是使刚体状态发生改变而产生角加速度的原因。mrJrmJjjjd,22三转动惯量物理意义：转动惯性的量度.质量离散分布刚体的转动惯量2222112rmrmrmJjjj转动惯性的计算方法质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJjjjd22：质量元md对质量线分布的刚体：：质量线密度lmdd对质量面分布的刚体：：质量面密度Smdd对质量体分布的刚体：：质量体密度Vmdd：质量元md质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJjjjd22lO´O解设棒的线密度为，取一距离转轴OO´为处的质量元rrmddlrrJ02drd32/02121d2lrrJl231mlrrrmrJddd22例1一质量为、长为的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.mlrd2l2lO´O2121ml如转轴过端点垂直于棒rOROR403π2dπ2RrrJRrdr例2一质量为、半径为的均匀圆盘，求通过盘中心O并与盘面垂直的轴的转动惯量.mR解设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为的圆环rrd2πRm而rrmdπ2d圆环质量221mRJ所以rrmrJdπ2dd32圆环对轴的转动惯量2mdJJCO四平行轴定理P转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置.质量为的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为的转轴的转动惯量CJmddCOm注意2221mRmRJP圆盘对P轴的转动惯量RmO例4一半径为R，质量密度为的薄圆盘，有两个半径均为的圆孔，两圆孔中心距离圆盘中心距离均为，如图所示。求此薄圆盘对于通过圆盘中心而与盘面垂直的轴的转动惯量。3R2RO解：补偿法设想在带孔圆盘的每个小孔处填充质量为+m′和-m′且相等的小圆盘，这样并不会改变原来的质量分布，但形成了正质量的大圆盘和负质量的小圆盘的组合体，它们的转动惯量都可以按公式计算，而带孔的圆盘的转动惯量可以由叠加法求出！正质量的大圆盘对盘心O的转动惯量为：oI241122oImRR22102041()()()()23211324RRIImmR两个负质量的小圆盘对O轴的转动惯量为：于是带孔圆盘对O轴的转动惯量为：410203581ooIIIIR练习1：一可忽略质量的轻质平面的正方形框架，边长为a，其四个顶点上分别有一个质量为m的质点(平行轴定理)。求：1）此质点系垂直于正方形平面且过中心轴OZ的转动惯量。2）若转轴平移至其中一个顶点，转动惯量为多少？3）若转轴平移至正方形一边的中点，转动惯量为多少？OZ练习2：求如图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量。LRm0mLZ五转动定律的应用定轴转动刚体与可视为质点的物体组成的系统力学问题。处理这类问题的方法与处理质点力学问题相同：1）选取研究对象2）分析各隔离体所受的力或者力矩，判断各隔离体的运动情况3）应用牛顿定律（质点）或转动定律（刚体）分别列出方程4）建立角量与线量之间的关系（质点与刚体之间的联系）5）连列方程求解简单刚体定轴转动，直接应用转动定律求解。例5一长为质量为匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动.试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度.lm解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得NFJmglsin21式中231mlJddddddddtt得sin23lg由角加速度的定义dsin23dlg代入初始条件积分得)cos1(3lgJmglsin21例6质量为的物体A静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为的物体B上.滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.问：（1）两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体B从BmCm静止落下距离时，其速率是多少？yAmABCAmBmCmABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmT2FT1FCPCFamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra解（1）隔离物体分别对物体A、B及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律、转动定律列方程.2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF如令，可得0CmBABAT2T1mmgmmFF（2）B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率2/22CBABmmmgymayvABCAmBmCmT1FT2F力矩的时间累积效应冲量矩、角动量、角动量定理.一质点的角动量定理和角动量守恒定律力的时间累积效应冲量、动量、动量定理.3角动量角动量守恒vvrLLrxyzom1质点的角动量质量为的质点以速度在空间运动，某时刻相对原点O的位矢为，质点相对于原点的角动量mrvvmrprLsinvrmL大小的方向符合右手法则.LLrpmo1）质点以角速度作半径为的圆运动，相对圆心的角动量rJmrL22）角动量与位矢和动量有关，即与参考点O的选择有关。因此，在讲述质点的角动量时，必须指明是针对哪一点的角动量。rP3）角动量的定义并没有对质点的运动做任何限制，做直线运动的质点对选定的参考点同样具有角动量。?dd,ddtLFtpptrtprprttLdddd)(ddddtLMdd作用于质点的合力对参考点O的力矩，等于质点对该点O的角动量随时间的变化率.FrtprtLdddd0,ddptrvv2质点的角动量定理prL质点所受对参考点O的合力矩为零时，质点对该参考点O的角动量为一恒矢量.LM,0恒矢量冲量矩tMttd21质点（系）的角动量定理：对同一参考点O，质点（系）所受的冲量矩等于质点（系）角动量的增量.12d21LLtMtt3质点（系）的角动量守恒定律tLMdd例7一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为m的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动.小球开始时静止于圆环上的点A(该点在通过环心O的水平面上),然后从A点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点B时对环心O的角动量和角速度.解小球受重力和支持力作用,支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理c