(最终合成版)数学物理方程复习资料

一、填空题1、物理规律反映同一类物理现象的共同规律，称为__普遍性（共性）_。2、若函数f(x)是周期性的，则可展开为___傅里叶_____级数。3、周期性函数f(x)为奇函数，则可展为_____正弦____傅里叶级数。4、在给定条件下求解数学物理方程，叫作_数学物理定解问题__。5、方程20ttxxuau称为____波动____方程6、方程20txxuau称为____输运___方程7、静电场的电场强度E是无旋的，可用数学表示为____P119_______。8、方程0j称为___恒定电流____的连续性方程。9、第二类边界条件，就是_P127_____________________________________。10、第一类边界条件，就是___P127___________________________________。11、00(0,)(0,)xxuxtuxt称为所研究物理量u的_____衔接条件______。12、00(0,)(0,)uxtuxt称为所研究物理量u的____衔接条件________。13、对于两个自变量的偏微分方程，可分为双曲型、__抛物型___和椭圆型。14、对于两个自变量的偏微分方程，可分为双曲型、抛物线型和___椭圆型___。15、分离变数过程中所引入的常数不能为：负数或零甚至也不能是任意的的正数。16、方程中，特定的数值叫作本征值，相应的解叫作__本征函数______。17、傅里叶级数法适用于_____非齐次________方程和齐次边界条件的定解问题。18、分离变数法的关键是___把分离变数形式的试探解_______代入微分方程。19、非齐次振动方程可采用__傅里叶级数____和冲量定理法求解。20、处理非齐次边界条件时，可利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转化另一___未知函数______的齐次边界条件问题。21、处理非齐次边界条件时，可利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转化另一___未知函数______的齐次边界条件问题。22、对于边界是圆柱型的定解问题，常采用__柱坐标___系求解。23、对于边界是球型的定解问题，常采用__球坐标___系求解。24、方程222221[()]02dRdRxxxlRdxdx称为___L+1/2阶的贝塞尔方程__。25、方程22222()0dRdRxxxmRdxdx称为_m阶贝塞尔方程__。26、方程()()()()()0yxpxyxqxyx，其中0()()xpxqx是和的常点，则其解可写成___P191_______________形式。27、连带勒让德函数的微分表达式为，______P243________________。28、勒让德多项式的微分达式为_________P225_____________。29、拉普拉斯方程在球形区域的定解问题，如果是非轴对称的，问题与__P253_有关，其解往往用一般的球函数表示。30、贝塞尔函数()Jx，当0x时，()vJx___0_____。二、单选题1、已知函数f(x)=x，定义在(-π,π)，则其傅里叶级数在x=π的数值f(π)=___C___。10ABCD、、、、不存在2、非周期函数()fx的傅里叶变换式是（B）021()()cos()()cos21()()sin()()sin2()()cos()()cos2()()sinAfdAfdABBfdBfdAfdCDfxAxdBfd3、下列方程中，属于输运方程的是（B）220000ttxxtxxttxxAuauBuauCuDuEu、、、、4、下列方程中，属于稳定场方程的是（C）220000ttxxtxxttxxAuauBuauCuDuEu、、、、5、方程1112221220xxxyyyxyauauaububucuf属于双曲型类型，则有（B）221211221211222121122120000AaaaBaaaCaaaDbbc、、、、6、方程1112221220xxxyyyxyauauaububucuf属于椭圆型类型，则有（C）221211221211222121122120000AaaaBaaaCaaaDbbc、、、、7、边界条件属于第一类边界条件是（A）000000000000xxxlxlxtxxxtxlxluuABuuuuuCDuuuu、、、、8、边界条件属于第二类边界条件是（C）000000000000xxxlxlxtxxxtxlxluuABuuuuuCDuuuu、、、、9、属于初始条件的表达式是（B）000000(,0)(0,)xxtxAuuBuxuCuuDutu、、、、10、属于初始条件的表达式是（B）000000(,0)(0,)xxtxAuuBuxuCuuDutu、、、、11、方程2222(1)0dRdRrrllRdrdr在0rr的解为（B）1011()()1()()lllllllARrCrDBRrCrrCRrDDRrCrr、、、、12、方程2222(1)0dRdRrrllRdrdr在0rr的解为（C）1011()()1()()lllllllARrCrDBRrCrrCRrDDRrCrr、、、、13、0020xxyxyy在邻域求解微分方程：，其解为（C）11000110000()()()ln()kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkAyxaxbxByxaxCyxaxAaxxbxDyxbx、、、（）、14、000xxyxyy在邻域求解微分方程：，其解为（C）11000110000()()()ln()kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkAyxaxbxByxaxCyxaxAaxxbxDyxbx、、、（）、15、以勒让德多项式为基，在区间[-1,1]，43()2fxxx的展开式是（A）012340123602341234516448()()()()()55753516448()()()()()5575351448()()()()5753564481()()()()()575355APxPxPxPxPxBPxPxPxPxPxCPxPxPxPxDPxPxPxPxPx、、、、16、以勒让德多项式为基，在区间[-1,1]，3()234fxxx的展开式是（A）0130260231342144()()())55214()()()55144()()()575148()()()5535APxPxPxBPxPxPxCPxPxPxDPxPxPx、、4、、17、101()Pxdx的值是（B）0ABCD、、2、1、218、111()Pxdx的值是（D）ABCD、2、2、1、019、方程222222[(1)]0dRdRrrkrllRdrdr称为（B）12ABClDl、欧拉方程、贝塞尔方程、阶的勒让德方程、（）阶球贝塞尔方程20、方程222222[(1)]0dRdRrrkrllRdrdr称为（D）ABClDl、欧拉方程、贝塞尔方程、阶的勒让德方程、阶球贝塞尔方程21、勒让德多项式中，2(0)nP的数值为（C）22(21)!!(2)!01(-1)(2)!!2(2!)nnnnABCDnn、、、、22、勒让德多项式的母函数为（D）[/2]222202(22)!(2)!(1)2!()!(2)!2(2!)11112coslklknlnklknAxBxklklknCDrrr、、、、三、计算题1、把函数4()sinfxx展开为傅里叶级数。4222241cos2111sin(sin)()cos(2)cos(2)24241111cos(4)311cos(2)cos(2)cos(4)4242828311()sincos(2)cos(4)828xxxxxxxxxfxxxx解：所以有：2、在区间(0,)l上定义函数()fxx，试根据边界条件(0)0f和()0fl，把函数()fx展开为傅里叶级数。11011()()-,()sin22sin(1)2(1)()sin(0)kklkkkkfxfxllkxfxblklbdllklkxfxxlkl解；由边界条件可知，必须把作奇延拓。使在区间()上成为奇函数。于是有其中则有3、在00x的邻域上求解微分方程20yy（ω是常数）。22023012302222223201232230()0(),0++2132+(1)nknknkkkkyypxqxxyaxaaxaxaxaxyaaxaxaxaxyaaxkkax解：对于方程，有，所以，是常点。微分方程的解可设为：………………比较方程的各幂的系数，则有：2222422222022212110(1)(1)(2)(3)2(1)1,2,3,2(21)2!21(1)1,2,(21)2(21)![kkknnnnnnnnaaakkkkkkkknaaannnnkknaaannnnya即有：当为偶数时，令，则:…当为奇数时，令，则：…于是，微分方程的解为：（级数是收敛的，收敛半径为）2423421101111111()()(1)()]2!4!(2)!111[()()(1)()]3!4!(21)!cossin(1,2,3,/kkkkxxxkaxxxxkaxaxkaa……………)这里4、在圆域0上求040uu，边界条件。222222222200110(,)()+()4(,)(,)(,)0(,)ln(cossin)(cossin)0ln,(1)0,mmmmmmmmmmvxyxyvxyxyxyuxyvxywxywwCDAmBmCmDmmDC解：设。则有：设，则有:。将其在极坐标系中求解，解的形式为：由于，时，所以：01222200012002200(1)(,)(cossin)(,)(,)(,)(,)cos)(sin)(cossin)00mmmmmmmmmmmDmwCAmBmuvwvCAmBmCABu于是有：其中：＝-(由边界条件得：比较各三角函数的系数，于是有：＝，该定解问题的解为：5、长为l的弦，两端固定。弦中张力为T，在距一端为0x的一点以力F0把弦拉开，然后突然撤除这力，求解弦的振动。解：泛定方程为：20(1)ttxxuau边界条件、初始条件为：000000(0,)(,)0(2),(0)(,0)(3)(),()(,0)0(4)tutultFlxxxxTluxFxlxxxlTlux令(,)()()1uxtXxTt代入泛定方程（），得：222221+0(0)()00XTXaTTaTXXlXX于是方程（）变为：边界条件为：001(,)(,)(co