零阶保持器

1．已知被控对象的传递函数为Gp（s）=)15.0(10ss，试用模拟法设计一个数字控制器D（z），使闭环系统满足下列性能指标：A：静态速度误差系统Kv101sB：超调量%25%C：调节时间sts1具体过程要求：1。先用模拟法设计出D（s）2.将其转换为D（z）3.分别检验是否满足要求性能指标（其中对超调量和调节时间要有仿真研究，要有仿真曲线）4.并写出数字控制器的具体实现——差分方程5.如果采用数字控制器，利用位置型控制算法，试确定PID控制器参数。解：做原系统的BODE图与阶跃响应曲线，检查是否满足题目要求。得到曲线图如下：012345600.511.5System:sysTime(sec):0.702Amplitude:1.48System:sysTime(sec):3.79Amplitude:1.02StepResponseTime(sec)Amplitude图1原系统阶跃响应曲线-60-40-200204060Magnitude(dB)10-1100101102-180-135-90Phase(deg)BodeDiagramGm=InfdB(atInfrad/sec),Pm=25.2deg(at4.25rad/sec)Frequency(rad/sec)图2原系统bode图由图可知原系统的性能指标（程序见附录1）：①调节时间为ts=3.79s1s，超调量%48%%25，不满足要求;1010)(lim0ssGpKvs满足要求。②幅值稳定裕度：Lh=20lg(Gm)=dB，-穿越频率：grad/s，相位稳定裕度：18.25，剪切频率：c4.25rad/s。分析可知,需要对原系统采取如下措施：加快反应速度，降低超调量，适当增大相位稳定裕度，这样我们可以设计超前校正器D(s),再将其离散化为D(z)，其过程如下所示：⑴设计超前校正器传递函数设超前校正器传递函数为11)(DTsTss，设定校正后的相位稳定裕度为018.45则，又41.0)sin(1)sin(1mm；超前校正器传递函数计算（程序见附录1）可得：11)(DTsTss=105.013774.0ss⑵校验校正后系统性能指标000255mGp’(s)=D(s)Gp(s)=)15.0(10ss*105.013774.0ssStepResponseTime(sec)Amplitude00.20.40.60.811.200.20.40.60.811.21.4System:sysTime(sec):0.374Amplitude:1.06System:sysTime(sec):0.721Amplitude:1.02图3校正后连续系统阶跃响应曲线-100-50050Magnitude(dB)10-1100101102103-180-135-90Phase(deg)BodeDiagramGm=InfdB(atInfrad/sec),Pm=65.4deg(at7.28rad/sec)Frequency(rad/sec)图4校正后连续系统bode图由图可知原系统的性能指标（程序见附录1）：①调节时间为ts=0.721s1s，超调量%6%%25，1010)(lim'0ssGpKvs满足要求。②幅值稳定裕度：Lh=20lg(Gm)=dB，-穿越频率：grad/s，相位稳定裕度：4.65，剪切频率：c7.28rad/s。可见所得超前校正器传递函数满足设计要求。⑶校正器传递函数的离散化：采用零阶保持器法离散化D(s)系统中加入加零阶保持器sesHTs1)(0（程序见附录1），其中采样周期取T=0.1s,可得)]()([)(0sDsHZzD=11009-2.061e1548.6548.7zz由)()()(zDzEzU得)()(zEzU11009-2.061e1548.6548.7zz即有11)(548.6)(548.7)(009-2.061e)(zzEzEzzUzU转化到时域内，则得其差分方程为)1(548.6)(548.7)1(009-2.061e)(kekekuku校正后离散系统阶跃响应曲线绘制如下（程序见附录1）：05101520253000.20.40.60.811.21.41.6X=16Y=1.0243Ty(K)图5校正后离散系统单位阶跃响应由图5可知调节时间为ts=1.8s1s，超调量%54%%25,显然加零阶保持器离散系统与校正后的连续系统相比，快速性和瞬态特性变化显著。假如我们将图5中第2、3、4点用第1点与第5点连线与y=2T、3T、4T交点来代替，同时将tp=0.7s,Mp2=1.20作为第一峰值点,此时%20%%25满足要求,ts=1.8s1s系统快速性欠佳。2．计算机控制系统如下图所示，对象的传递函数)15.0(2)(sssG，保持器模型为sesHTs1)(0，采样周期T=0.5s，系统输入分别为单位速度函数和单位阶跃函数时，试设计最少拍调节器D(z)，并计算书出相应y(k)、控制信号u(k)、误差e(k)并用仿真曲线表示系统的输出响应。Gc(z)HG(z)D(z)H0(s)G(s)Y(s)R(s)Y(z)解：)15.0(21)(sssesHGTs由此可知：)368.01)(1()718.01(368.0)(1111zzzzzHGG（z）的零点：-0.718（单位圆内），（单位圆外）；极点：1（单位圆上），0.368（单位圆内）故m=1,u=0,v=1。根据稳定性要求G（z）中z=1的极点应包含在)(ze的零点中，由于系统针对单位速度输入时q=2，单位阶跃输入时q=1。（1）输入为单位速度函数R(z)=211)1(zTz时，q=2,q+v-1=2。由于G(z)包含一个单位圆上的极点z=1,即w=1，则q+v-w-1=1故有：)()(1101zzz由02)1(1)1(10'10解得1,210即)2()(11zzz又p=2,m+u+q-p-1=0,故)(ze=21)1(z21211111718.0282.01722.444.5)1)(718.01()2)(368.01(72.2)(1)()(1)(zzzzzzzzzzzHGzD由)()()(zEzUzD可得)(44.5)(722.4)()(282.0)(718.0)(1212zEzzEzzEzzUzzUzU....)432()1()2()()()(4322112zzzTzzTzzzRzY1)()()(TzzzRzEe转化为差分方程：)(44.5)1(722.4)2()1(282.0)2(718.0)(kekekekukuku2)(1*)(iikiTky...3,2........01,0.......)(kkTke输出响应仿真曲线如下（程序见附录2）：01234560123456Ty(k)单位速度响应曲线图6系统单位速度响应曲线（2）输入为单位阶跃函数R(z)=111z时，设计最少拍调节器D(z)为了满足准确性要求另有)(ze=11z，1)(1)(zzze1111718.0172.2718.01)368.01(72.2)(1)()(1)(zzzzzzzHGzD由)()()(zEzUzD可得)(72.2)()(718.0)(11zEzzEzzUzU....1)()()(432111zzzzzzzzRzY1)()()(zzRzEe转化为差分方程：)(72.2)1()1(718.0)(kekekuku1)(1)(iikky...3,2,1........00.......1)(kkke输出响应仿真曲线如下（程序见附录2）：00.511.522.533.544.5500.20.40.60.811.21.4ty单位阶跃响应曲线图7系统单位阶跃响应曲线附录1%原系统阶跃响应曲线与原系统BODE图num=[0010];den=[0.510];s1=tf(num,den);sys=feedback(s1,1);figure(1)step(sys)gridfigure(2)[Gm,Pm,Wcp,Wcg]=margin(s1)margin(s1)grid%计算系统超调量sigma,调节时间ts，速度稳差系数kvsymszetasigmasGbzeta=1/(20^0.5)sigma=2.7182^(-pi*zeta/(1-(zeta)^2)^(1/2))ts=4/(zeta*(20^0.5))phib=20/(s^2+2*s+20)[Gb]=solve('20/(s^2+2*s+20)=Gb/(1+Gb)',Gb)kv=limit(s*Gb,s,0)%计算校正器传递函数n1=10;d1=conv([10],[0.51]);sope=tf(n1,d1);[mag,phase,w]=bode(sope);gama=45;[mu,pu]=bode(sope,w);gamal=gama+5;gam=gamal*pi/180;alfa=(1-sin(gam))/(1+sin(gam));adb=20*log10(mu);am=10*log10(alfa);ca=adb+am;wc=spline(adb,w,am)T=1/(wc*sqrt(alfa));alfat=alfa*T;Gc=tf([T1],[alfat1])%校验校正后连续系统性能num1=[0010];den1=[0.510];num2=[0.37741];den2=[0.051];s1=tf(num1,den1);s2=tf(num2,den2);s=s1*s2;sys=feedback(s,1);figure(1)step(sys)gridfigure(2)[Gm,Pm,Wcp,Wcg]=margin(s)margin(s)grid%零阶保持器法离散化D(s)dnum1=[0.37741];dden1=[0.051];Ts=1;sysc1=tf(dnum1,dden1);sysd2=c2d(sysc1,Ts,'zoh')%校正后离散系统单位阶跃响应(零阶保持器法)dnum1=[7.548-6.548];dden1=[1-2.061e-009];Ts=0.1;sysd1=tf(dnum1,dden1,Ts);num2=[10];den2=[0.510];sys2=tf(num2,den2);sysd2=c2d(sys2,Ts,'zoh');sysd=sysd1*sysd2;sysbd=feedback(sysd,1);[dnumdden]=tfdata(sysbd,'v');t=0:1:30;y=dstep(dnum,dden,t);stem(t,y,'r','filled')grid附录2%输入为单位阶跃函数时输出响应dnum1=[2.72-1];dden1=[10.718];Ts=0.5;sysd1=tf(dnum1,dden1,Ts);num2=[2];den2=[0.510];sys2=tf(num2,den2);sysd2=c2d(sys2,Ts,'zoh');sysd=sysd1*sysd2;sysbd=feedback(sysd,1);[dnumdden]=tfdata(sysbd,'v');t=0:5y=dstep(dnum,dden,t)stem(t,y,'r','filled')grid%输入为单位速度函数时输出响应dnum1=[5.44-4.7221];dden1=