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第四章时间序列预测法预测与决策技术主讲教师李时时间序列,是指一组按时间先后顺序排列的同一现象的统计数据。经济现象和市场行情总是随着时间的推移而变动的。经济研究或企业管理部门要掌握经济活动或行情的变化情况及趋势,要对未来作出科学的预测和决策,就需要及时了解和分析与时间有关的一系列统计资料。按惯性原则,从一组时间序列过去变化规律的分析来推断今后变化状况或趋势的方法,就称为时间序列预测法。这种方法简便易行,不用分析其影响因素,只利用被预测量本身的历史数据。主要用于那些分析影响因素比较困难或相关变量资料难于获得的场合。由于这种方法是建立在历史规律引伸的基础上,因此一般只适合做短期预测。在预测实践中,人们有时采用一种朴素的预测方法。比如,在月度销售预测中,往往可以简单地采用最近月份的销售量作为下一个月份销售量的预测值。但这种方法过于粗糙,如果时间序列资料包含有大量的随机成分,采用这种朴素预测法将产生较大偏差。为了消除这些随机变动成分的影响,人们对朴素预测法做了适当的改进,从而产生了移动平均法。所谓移动平均法,就是从时间序列的第一项开始,按一定项数求平均值,由远而近,逐项向前移动,边移动边平均。并将接近预测期的最后一个移动平均值作为确定预测值的依据。由于利用平均值进行预测,便较好地减小或削弱了随机不规则变动因素的影响。§1移动平均法一、简单移动平均法的原理及应用采用简单移动平均方式求得移动平均值,进而进行预测的方法称为简单移动平均法。设时间序列为yt,t=1,2,…,T,移动平均的项数为n,n<T,则第t期的简单算术移动平均值的一般计算公式为nyyyMntttt11则第t+1期的预测值约定为ttMy1ˆ由此,还可以得到一个递推预测公式,即nyyynyyMnyyyyntttntttnttttˆˆ1111上式表明,由简单移动平均法得出的每一新预测值都是对前一移动平均预测值的修正。这种修正体现为增加了最新观测值,而去掉了远期观测值。一般情况下,移动平均的项数n取得越大,对原序列修匀的程度越大。如果原始序列含有季节波动,移动平均的项数n应取得和季节波动周期一致,这样对原序列修匀的效果较好。简单移动平均法只能做一步预测,且仅适用于平稳发展的序列,用于有明显上升(或下降)趋势的时间序列预测,会产生滞后误差。例4-1某地区1986~1998年的粮食产量如表4-1第(2)栏所列,试用简单移动平均法(取n=3)预测该地区1999年粮食产量。表4-1某地粮食产量统计及预测表P55.例1年份产量简单移动平均预测值加权移动平均预测值1986284521987286311988282731989304772845228416.21990332122912729446.61991320563065431403.71992325023191532087.01993354503259032510.21994387283333633886.81995407323556036499.41996379113830339074.41997391513912438920.71998404733926539095.219993917839564.08871561372322269S2978.52689.3比较不同预测方法的优劣,可以比较它们的预测均方标准差:21ttyyNSˆ二、加权移动平均法的原理及应用考虑到近期的水平要比远期的水平对未来趋势有更大的影响,可以采用加权移动平均的方式来计算移动平均值,即按距离预测期的远近,给近期数据以较大的权数,而远期数据给以较小的权数,这便是加权移动平均预测法。设时间序列观测值yt,yt-1,…,yt-n+1的权数分别取为ω1,ω2,…,ωn,则第t期的加权算术移动平均值为11niinntntttyyyM2111211121ntntttyyyMttMy1ˆ如果取则上式可简化为仍然用Mt作为第t+1期的预测值,即显然,简单移动平均法不过是加权移动平均法当权数ω1=ω2=…=ωn=1时的特例。加权移动平均预测法的适用范围及优缺点与简单移动平均预测法基本上是一样的。例4-2在例4-1中取权数ω1=0.5,ω2=0.3,ω3=0.2,试计算该地区粮食产量的三年加权移动平均预测值。结果见表4-1第(4)栏。三、线性二次移动平均法的原理及应用前面介绍的两种移动平均法也称为一次移动平均法,用来预测具有线性增长(或下降)趋势的时间序列所反映的经济现象时,往往比实际值偏低(或偏高)。为了克服这一不足,发展了线性二次移动平均法。该方法就是对一次移动平均值再计算一次移动平均值,并由此建立一个线性预测方程。把前面的一次移动平均值记为Mt(1),把二次移动平均值记为Mt(2),从而有nMMMnMMMMntttntttt1121111112设时间序列{yt}可表为时间t的线性模型,即yt=a+bt+εt式中,εt为随机项。预测时,难以考虑εt,故现在假定yt=a+bt,从而于是预测方程为:bnbtaitbanynMniniitt2)1()]([1110101可见,一次移动平均值Mt(1),滞后于实际值yt,同样对Mt(2)有bnMbnbtabnitbanMnMtniniitt2)1()1(]2)1()([111101012由此式可得)(1221ttMMnbbMMbbnMtbaytttt21122)1()(ˆ记)(12ˆ2ˆ2121ttttttMMnbMMa则预测方程变为:tttbayˆˆˆ式中,τ为预测超前期。例4-3某建材商店玻璃销售量如表4-2所列,试预测该商店第2年2月份的销售量(取移动平均项数n=3)。解显然,该商店玻璃销售量有明显上升趋势,故用线性二次移动平均法作预测。按公式计算的相关值列于表4-2第3~6列。预测第2年2月份的销售量:月份(t)销售量yt(箱)Mt(1)Mt(2)123456789101112504552534852545055565158--49.050.051.051.051.352.053.053.754.055.0----50.050.751.151.452.152.953.654.2----52.051.351.552.653.954.554.455.8----1.00.30.20.60.90.80.40.8taˆtbˆ表4-2某建材商店玻璃销售量箱45728085521212212...ˆˆˆbay§2指数平滑预测法指数平滑法是加权移动平均法的进一步发展和完善,它是由美国经济学家布朗(Brown)于1959年提出的。一、一次指数平滑法的原理及应用一次指数平滑法实际是对简单移动平均法加以适当的修定而引申出的一种预测方法。它只适用于没有明显趋势变化的时间序列。前面介绍过简单移动平均法的递推预测公式为:nyyyynttttˆˆ1:的估计值,则上式变为作为远期观测值用nttyyˆtttynynyˆ)11(1ˆ1令α=1/n,则有)1.2.4(ˆ)1(ˆ1tttyyy这便是一次指数平滑法的基本预测方程。其中,0<α<1,称为平滑常数。设时间序列的观测值为y0,y1,…,yn,则由式(4.2.1)可递推得到:上式各项系数之和为:由此可见,第t+1期的预测值实际上是以前各期的观测值y0,y1,…,yt及初始期预测值的加权平均值。所以说,它是加权移动平均法的推广。由于所加的一串权数均呈指数函数形式,并逐项衰减,α越大衰减越快,反之越慢;且这种平均法具有修匀或平滑一系列观测值的作用,故称之为指数平滑法。0102211ˆ)1()1()1()1(ˆyyyyyytttttt其中,t=0,1,2,…,n。)1.2.4(ˆ)1(ˆ1tttyyy一次指数平滑法的基本预测方程为:1α)(1α)(11α)(11α)1()1()1()1(1112tttt式(4.2.2)明确地表示了指数平滑的实际意义。即第t+1期的预测值等于第t期的预测值加上第t期的预测误差的α倍。如果第t期的预测值过低,则误差为正,第t+1期的预测值便增大;反之则减小。可见这一方法是“自适应”的,它通过现期的预测误差,自动修正下一期的预测值,且通过平滑常数α体现修正的幅度。使用指数平滑法进行预测,要解决好两个问题:一是平滑常数的选择;二是初始预测值的确定。平滑常数α取值的大小,对预测效果有直接影响。如何选定α?目前尚无好的解决办法。实用中,α的选择主要凭经验,视具体情况而定。一般的经验有:一次指数平滑法的基本预测方程为:)1.2.4(ˆ)1(ˆ1tttyyy式(4.2.1)也可改写为:)2.2.4()ˆ(ˆˆ1ttttyyyy⑴当对估算的初始值的正确性有疑问时,可取较大的α值,以扩大近期数据的作用,迅速减少初始值的影响;⑵如果时间序列虽有不规则的起伏变化,但长期变动趋势接近某一稳定常数时,则需取较小的α值(一般取0.05~0.20),使各观测值具有大小接近的权数;⑶如果时间序列具有快速明显的变化时,则α宜选用较大的值(一般取0.3~0.6),使近期数据的影响较强地反映在预测值中;⑷如果时间序列变化缓慢,则α可选更小的值(一般取0.01~0.04),使权数由近及远较缓慢地减弱,从而使较远期数据的影响也能比较充分地体现在预测值中。⑸在不容易判断时,可选择几个不同的α值进行试算,比较其预测误差,最后以预测误差最小的α值作为合适的平滑常数。计算预测误差可用下述两个公式中的任何一个:至于初始预测值的选择,要依时间序列数据的多少来定。因为当t→∞时,(1-α)t+1→0,所以当数据很多时,初始预测值对t+1期预测值的影响可以忽略,这时可选用首期数据为初始预测值;如果时间序列的数据较少,初始预测值对以后的预测值影响较大,一般以最初几期观测值的平均值作为初始预测值。ntttntttyynSyyne02011ˆ;ˆ②均方标准差:①平均绝对误差:例4-4甲、乙两工厂的总产值如表4-3所列,试用一次指数平滑法分别预测这两个工厂第8期的总产值。表4-3甲、乙两工厂总产值统计表(单位:万元)时期t01234567甲厂2030404248505460乙厂2030402048305240解分别选用α=0.1,0.3,0.9进行试算。由于数据较少,初始预测值选前3期观测值的平均值。P59例4α=0.1α=0.3α=0.9工厂时间实际值平滑预测值误差平滑预测值误差平滑预测值误差02030-1030-1030-10130291273219S1=16.2124029112812291134230123210393S2=12.074483117351342655033173911473S3=7.70654351942125047603723461454602030-1030-1030-10130291273219S1=12.9324029112812291132030-1032-1239-19S2=12.9444829192820222653031-134-445-15S3=17.2965231213319322074033739150-10甲乙甲厂误差乙厂误差甲厂总产值稳步发展,长期趋势明显上升,应选用较大的α值,试算结果也证明了这一点。故应选α=0.9作为平滑常数,并预测甲厂第8期总产值为)(45954106090yα)(1αy778万元
本文标题:时间序列预测法2
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