外微分及斯托克斯公式

外微分及斯托克斯公式的性质：外积的全微分可微函数),,,(21nxxxf.1,1形式—称为niiidxxfdfijjidxdxdxdx)2(0)3(iidxdxdzQdydzPdxdzQdyPdx)()1(ZdzYdyXdx一次形式dyZdxdxYdzdzXdy二次dzdydxzyxf),,(三次dxdXXdxd)()(dzzXdyyXdxxXdxdzzXdzdyyXdzdydPdzPdyd)(dzdydzzpdyypdxxP)(dzdydxxPdzdydxdfdzdyfdxd)(0)(dzdydxdzzfdyyfdxxfZdzYdyXdx、设例1)(ZdzYdyXdxdd)dzdZdydYdxdXdydxyXxYdxdzxZzXdzdyzYyZ)()()(dyRdxdxQdzdzPdy.2例dydxdRdxdzdQdzdydPddzdydxzRyQxP)(由此可以看出：的梯度运算的外微分与）（ff1.相当kzfjyfixff的旋度量场一次微分的外微分与向v)2(相当kyXxYjxZzxizYyZvrot)()()(的散度向量场）二次形式的外微分与（v3相当zZyYxXvdiv.,0一个闭微分形式是则称满足定义：如果微分形式d.,是一个恰当微分形式则称，使得如果存在微分形式d.0)((dddPoincare是一个闭微分形式，即定理）式斯托克斯公式的统一形式，高斯公式，莱布尼兹公式，格林公牛顿-上连续可微，则在）（IfbaI],,[1)()(afbfdfI.),()(},,{上的积分在即为IfafbfbaIIIfdf公式可写为格林公式)2(DDYdyXdxdxdyyXxY)(,YdyXdx令dydxyXxYd)(则)1(可以写为）所以（1DDd斯托克斯公式)3(SdxdzxZzXdzdyzYyZ)()(dydxyXxY)(DZdzYdyXdxZdzYdyXdx令dxdzxZzXdzdyzYyZd)()(dydxyXxY)(高斯公式)4(dxdydzzZyYxX)（dyZdxdxYdzdzXdydyZdxdxYdzdzxDy令dzdydxzZyYxXd)(d）维流形，其边界，，（中的为定理：设3213kRS上的一个是为低一维的流形，又设SS次微分形式，则有1kSd.斯公式这个公式统称为斯托克