一计数过程与泊松过程

一、计数过程与泊松过程在天文，地理，物理，生物，通信，医学，计算机网络，密码学等许多领域，都有关于随机事件流的计数问题，如：盖格记数器上的粒子流；电话交换机上的呼唤流；计算机网络上的（图象，声音）流；编码（密码）中的误码流；泊松过程交通中事故流；细胞中染色体的交换次数，…均构成以时间顺序出现的事件流A1,A2,…定义1：随机过程{N(t),t≥0}称为计数过程(Countingprocess),如果N(t)表示在[0,t]内事件A出现的总次数.计数过程应满足：(1)N(t)≥0;(2)N(t)取非负整数值；(3)如果st，则N(s)≤N(t)；(4)对于st,N(t)－N(s)表示时间间隔(s,t]内事件出现的次数.)s)t一类很重要的计数过程是Poisson过程.Poisson过程数学模型：电话呼叫过程设N(t)为[0,t)时间内到达的呼叫次数,其状态空间为E={0，1，2，…}此过程有如下特点：1)零初值性：N(t)=0;2)独立增量性：任意两个不相重叠的时间间隔内到达的呼叫次数相互独立;3)齐次性：在(s,t)时间内到达的呼叫次数仅与时间间隔长度t－s有关，而与起始时间s无关;4）普通性：在充分小的时间间隔内到达的呼叫次数最多仅有一次，即对充分小的Δt,有),(1)(}0)({0tottptNP),()(}1)({1tottptNP),()(}2)({2totptNPkk其中λ＞0.定义2.设计数过程{N(t),t≥0}满足：(1)N(0)=0;(2)是平稳独立增量过程；(3)P{N(h)=1}=λh+o(h),λ0；(4)P{N(h)≥2}=o(h).称{N(t),t≥0)是参数(或速率,强度)为λ的齐次泊松过程.定理：齐次泊松过程{N(t),t≥0}在时间间隔(t0,t0+t]内事件出现n次的概率为:,2,1,0,!)()]()([00nentntNttNPtnnNtNPntNPtPn)]0()([)()(记证)1(})()({00ntNttNP1o由条件(2)～(4)，得：Po(t+h)=P{N(t+h)=0}=P{N(t)=0,N(t+h)－N(t)=0｝=P{N(t)=0}P{N(t+h)－N(t)=0}=Po(t)[1－λh+o(h)]hhotPhtPhtP000001,10,0000NPtPdttdPh条件得令.0,)(0tetpt解得2o当n≥1,根据全概率公式有)()()()()(110hptphptphtpnnnt](t+h])()()()1()(1hothptphhtpnnnhhotPtPhtPhtPnnnn1dttdPhn得令,0tPtPnn1两边同乘以eλt后移项整理得)2()()]([1tpedttPedntnt当n=1,则00)]([101PeetPedttPedttttttetp)(1解得成立假设tnnenttP!111代入(2)式有)!1()()()]([11nttpedttPednntnttPentCntn!利用初始条件可证得,00nPtnnenttP!对一切n≥0均成立.定理证明反之亦然,得泊松过程的等价定义：定义2′设计数过程{N(t),t≥0}满足下述条件：(1)N(0)=0；(2)N(t)是独立增量过程；(3)对一切0≤st,N(t)－N(s)～P(λ(t－s)),即,2,1,0,!)]([)]()([)(kekstksNtNPstk注特别有kNtNPktNP)]0()([})({),2,1,0(,!][kekttkEX.1设{N(t),t≥0)是参数为λ的泊松过程,事件A在(0,τ]时间区间内出现n次，试求:P{N(s)=kN(τ)=n},0kn,0sτ})({)(,)(nNPnNksNP原式解nenknsNNksNP)(!)()(,)(nknsksenknsekse)(!)!()]([!)()(knkssknkn1)!(!!.,,2,1,0,1nkssCknkkn二、齐次泊松过程的几个结论1.数字特征,0t因对N(t)～P(λt).均值函数ttNEtm方差函数ttDttNE有称λ为事件的到达率λ是单位时间内事件出现的平均次数.均方差函数C(s,t)=λmin(s,t)，相关函数R(s,t)=λmin(s,t)+λ2st.证：因泊松过程{N(t),t≥0)是平稳独立增量过程，不妨设ts0R(s,t)=E{N(t)N(s)}=E{N(s)[N(t)－N(s)+N(s)]}=E{N(s)[N(t)－N(s)]}+E[N2(s)]=E{N(s)}E{N(t)－N(s)}+E[N2(s)]sts]ss[sts22tsststmsmtsRtsC2)()(),(),(C(s,t)=λmin(s,t)R(s,t)=λmin(s,t)+λ2st.一般地有1)令X(t)=N1(t)－N2(t)，t0,求X(t)的均值函数和相关函数.2)证明X(t)=N1(t)+N2(t),t0,是强度为λ1+λ2的泊松过程.3)证明X(t)=N1(t)－N2(t)，t0,不是泊松过程.EX.2设N1(t)和N2(t)分别是强度为λ1和λ2的相互独立的泊松过程,,)()]([)]([)(12121ttNEtNEtmX）解)]}()()][()({[),(2121tNtNsNsNEtsRX)]()([)]()([)]()([)]()([12212211tNsNEtNsNEtNsNEtNsNE)]([)]([)]([)]([),(),(122121tNEsNEtNEsNEtsRtsRNNststtsstts212222112),min(),min(.2)(),min()(21222121ststts2)根据泊松分布的可加性知X(t)=N1(t)+N2(t),t0,3)X(t)=N1(t)－N2(t)的特征函数为})(}exp{)(2111tteteuiuiuX独立和的特征函数由分布函数与特征函数的一一对应的惟一性定理知X(t)不是泊松过程.是强度为λ1+λ2的泊松过程.2.时间间隔与等待时间的分布tW1W2W3W4…N(t)是跃度为1的阶梯函数用Tn表示事件A第n－1次出现与第n次出现的时间间隔.,1niinTW记iiiWWT1则称Wn为事件A第n次出现的等待时间(到达时间).定理1设{Tn,n≥1}是参数为λ的泊松过程{N(t),t≥0}的时间间隔序列，则{Tn,n≥1}相互独立同服从指数分布，且E{T}=1/λ.证(1)因{T1t}={(0,t)内事件A不出现}P{T1t}=P{N(t)=0}=e－λt0,111tetTPtFtT即T1服从均值为1╱λ的指数分布.(2)由泊松过程的平稳独立增量性,有P{T2t|T1=s}=P{在(s,t+s)内事件A不出现|T1=s}T1=sT2t+s=P{N(t+s)－N(s)=0}=P{N(t)－N(0)=0}=P{N(t)=0}=e－λt与s无关故T2与T1相互独立，且T2也服从均值为1/λ的指数分布.(3)对于一般n＞1和t＞0,以及r1，r2，…，rn-10,有P{Tnt|Ti=ri,1≤i≤n－1}=P{N(t+r1+,…,+rn－1)－N(r1++r2+…+rn－1)=0}=P{N(t)－N(0)=0}=e－λt..0,1tetTPtFtnn即定理2参数为λ的泊松过程{N(t),t≥0},事件A第n次出现的等待时间服从Γ分布,其概率密度为：0,0;0,)!1()(1ttntetfntnW注：在排队论中称Wn服从爱尔朗分布。｛Wn≤t}={N(t)≥n}={(0,t)内A至少出现n次}证因Wn是事件A第n次出现的等待时间,故nktknwtekttWPtFn0,!)(1,1!!nnkkttwWknknttftFteekk.0,)!1(1tntent3.到达时间的条件分布定理3设{N(t),t≥0}是Poisson过程，已知在(0,t]时间内A出现n次,这n次到达时间W1,W2,…,Wn的联合条件分布密度为.,00,!))(,,,(121其他nnntttnntNtttf注即与n个相互独立同服从[0,t]上均匀分布随机变量的顺序统计量U(1),U(2),…,U(n)有相同分布.