(完整版)12-13随机过程试题B卷答案

华中师范大学2012–2013学年第1学期期末考试试卷（B卷答案）课程名称应用随机过程课程编号83610101任课教师李波题型一二三四五总分分值1026302410100得分得分评阅人一、判断题：（共5题，每题2分）1．设tB是标准布朗运动，ttYBa也是标准布朗运动。（T）2．两个的泊松过程之和与之差一定是泊松过程。（F）3．马氏链状态i与j即使互达，i,j也可能有不同的周期。（F）4．离散鞅是Markov过程。（F）5．随机过程(,)Xt可以看成一个二元函数。（T）得分评阅人二、证明题：（共3题，6题10分7、8题8分，）6．设)()(tYtX和为相互独立的宽平稳过程。证明)()()(tYtXtZ是平稳过程。解：由于)()(tYtX和是相互独立是平稳过程，故))()(()(tYtXEtEZ=)()(tEYtEX=XYmm=常数。),(ttRZ=[()()()()]EXtYtXtYt院（系）：专业：年级：学生姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第1页(共3页)=[()()][()()]EXtXtEYtYt=)()(YXRR,与t无关。2|)(|tZE=)0(ZR=)0()0(YXRR因此()Zt是平稳过程。7设()Nt为Poisson过程，对st，证明在t时刻到达k次的条件下s时刻达到次数的概率，即{()|()}PNskNtn服从二项分布。证明：(();()){()|()}(())PNskNtnPNskNtnPNtn()(())(()()){()/!}(())/()!(())()/!sktsnktnPNskPNtNsnkesketsnkPNtnetn!()1!()!knkknkknnnstsssCknkttt。8．试证连续时间马氏链的向后微分方程，()()PtQPt。证明：由C-K方程有()()()ijikkjkpthphpt()()()()[1()]()ijijikkjiiijkipthptphptphpt0h00()()()limlim()()ijijikkjiiijhhkipthptphptqpthh()()()ijikkjiiijkiptqptqpt得到()()PtQPt称为向后微分方程。得分评阅人三、计算题：（共3题，每题10分）9．设顾客以速率的Poisson过程()Nt到达火车站,设火车站时刻t离站，问在(0,]t区间内乘客的总等待时间的期望。解：由题意设乘客的到达时间为i，则等待时间为it总等待时间为()1()()NtkkWtt()()11(()){()}{[()|()]}NtNtkkkkEWtEtEEtNt()11[()|()][|()]NtnkkkkEtNtnntENtn由定理在N(t)=n条件下n个k的联合分布等价与[0,t]上n个相互独立服从均匀分布的随机变量的联合分布。所以可计算1[|()]nkkENtn011[]2ntkkntEUnxdxt1(())(){()}2nntEWtntPNtn1{()}2ntnPNtn22t10．某权威机构对主流日用品的三种品牌ABC进行顾客消费习惯的调查，并建立Markov链模型，三种品牌间的消费转移概率矩阵为：P=1/21/201/31/31/31/61/21/3a)证明该链是遍历马氏链。b)试预估各产品的市场占有率。c)讨论使用产品C的平均间隔（即该状态的平均返回时间），试解释实际意义。解：a)因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以遍历b)所以马尔可夫链平稳分布存在，由定理可得方程组1123212331231231/21/31/61/21/31/201/31/31-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第2页(共3页)解上述方程组得平稳分布为1=5142=6143=314c)状态3的平均返回时间3u=143=4.667，即，认为使用一件产品认为是“一代”平均使用第4.667代时，重新选用C。11.分支过程中一个体产生后代的分布为012111,,,424ppp初始为一个母体，试求第n代个数的均值方差及全体消亡概率。解：11nXniiXZ1()()nnnEXEX1{1}nnnDXDZ=nDZ1nEX,2nnDX2111()424ssss,解得消亡概率为1s得分评阅人四、综合题：（共2题，每题12分）12．叙述马氏链状态的划分（5分！）。应用相关理论讨论下例的各个状态。设{,0}nXn是马氏链，其状态空间{0,1,2,}E，转移概率为0,0,1,0111,,,222iiipppiE试用转移图的方法考察状态的0的常返性和遍历性，进而讨论整个状态空间E的常返性和遍历性。定义：常返正常返零常返瞬过略图略对状态0来说，我们有(1)(2)(3)00000011111111,,,22242228fff所以一般的我们有()0012nnf，故而()00001111,2nnnnff()000112.nnnnnfn所以状态0是正常返的，又(1)0,00,010,2pp从而0是非周期的，因此0是遍历的。因为整个状态空间E是连通的，所以，对任意的状态i，它都是遍历的。13．用数学语言描述布朗运动的主要性质，并对一维布朗运动tB计算()tsEBB，)(4tBE，解：布朗运动有很多好性质比如布朗运动是时齐的独立增量过程，也是时齐的马氏过程。布朗运动具有平稳增量，且hshtBB的分布就是n维的正态分布N(0,(t-s)I).布朗运动是鞅（需写出鞅性的表达式）布朗运动的数字特征有tsBBts),cov(等。布朗运动平移变换尺度变换后仍然是布朗运动等布朗运动的几乎每条样本轨道是连续的但对几乎每条样本轨道上的任意一点0t，其导数几乎处处不存在。等等tB~),0(2tN222/21)(txetxp)(4tBE=dxetxtx222/421=)25(222324t=243t()tsEBBst-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第3页(共3页)得分评阅人五、论述题：（共1题，一题10分，）14．论述随机过程遍历性。可从依时间平均和依统计平均的概念、关系以及相等的条件入手。思路如下：1.随机过程概念，一族随机变量2.依时间平均和依统计平均的解释3.平稳性和状态历经性4.均值遍历定理