曲线的自然参数方程

计算机辅助设计曾建江[e-mail]几何造型技术参数曲线和曲面形体在计算机内的表示参数化造型特征造型参数曲线和曲面显示、隐式和参数表示Bezier曲线与曲面B样条曲线与曲面NURBS曲线与曲面Coons曲面曲线曲面参数表示的基础知识曲线、曲面可以用显式、隐式和参数表示，由于参数表示的曲线、曲面具有几何不变性等优点，通常用参数形式描述曲线、曲面。显示、隐式和参数表示曲线和曲面的表示方程有参数表示和非参数表示之分，非参数表示又分为显式表示和隐式表示。显式表示一般形式是：y=f(x)。在此方程中，一个x值与一个y值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线平面曲线方程，表示成f(x,y)=0的形式，我们称之为隐式表示。隐式表示的优点是易于判断函数f(x,y)是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。非参数表示形式方程存在问题与坐标轴相关；会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）；对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非参数化函数表示；不便于计算机编程。参数表示在几何造型系统中，曲线曲面方程通常表示成参数的形式，即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用t表示参数，平面曲线上任一点P可表示为：P(t)=[x(t),y(t)]；在曲线、曲面的表示优越性（1）可以满足几何不变性的要求。（2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为：只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参数表达式为：有8个系数可用来控制此曲线的形状（3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换；而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。（4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。（5）由于坐标点各分量的表示是分离的，从而便于把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间中去。（6）规格化的参数变量t∈[0,1]，使得界定曲线、曲面的范围十分简单。（7）易于用矢量和矩阵运算，从而大大简化了计算。曲线和曲面和矢量方程和参数方程空间点A，从原点o到A点的连线oA表示一个矢量，此矢量称为位置矢量。曲线矢量方程参数方程)(trr)](),(),([tztytx)(,),()(0tzzttttyytxxn曲线的自然参数方程曲线的参数方程中，由于参数选取的不同，得到的方程也会是不同的。已知曲线自身的弧长是曲线的不变量，即不管坐标系如何选取，只要在其上取一初始点，确定一个方向，取一个单位长度，由曲线的弧长和参数增长方向便完全确定了。它是不依赖于坐标系的选取的。设有一条空间曲线Γ，在Γ上任取一点M0(x0，y0，z0)，作为计算弧长的初始点。以曲线弧长作为曲线方程的参数，这样的方程称为曲线的自然参数方程，弧长则称为自然参数)()()(szzsyysxx)](),(),([)(szsysxsrr基本三棱形取坐标系的原点和曲线Γ上的动点M重合，使整个坐标系随M点的运动，这种坐标系称为活动坐标系由切线和主法线所定的平面称为密切平面。由主法线和副法线组成的平面称为法平面。而由切线和副法线构成的平面称为从切面(或称次切面)。这三个面构成了曲线Γ在点M点处的基本三棱形(或称基本三面形)。曲线论的基本公式曲率由于|T(s)|=|T(s+Δs)|=1，都是单位矢量，(见图1-11)，故弦长|ΔT|与角度Δθ之比的极限为1，就得到曲率表示切线方向对于弧长的转动率。转动越“快”，曲率越大，弯曲程度越厉害。sTsTdsdTTkss00limlim||dsdsks0lim挠率就绝对值而言，等于副法线方向(或密切面)对弧长的转动率。曲面的矢量方程和参数方程曲面上参数曲线的切矢曲面上曲线的切矢和曲面的法矢曲面论基本公式曲面的第一基本公式曲面的局部坐标系曲面的第二基本公式法曲率，Meusnier定理Meusnier定理主曲率、主方向、曲率线Gauss曲率和平均曲率插值样条函数物理背景：插值三次样条函数用型值点处的一阶导数表示的三次样条曲线连续性条件端点条件方程组求解参数样条曲线、曲面Ferguson曲线合成Ferguson曲线一般曲线段之间的连续性条件位置连续斜率连续曲率连续C阶连续、G阶连续C阶连续：导矢连续G阶连续：单位导矢连续Ferguson应用的连续性条件合成Ferguson曲线的构造端点条件参数样条曲线用参数方程来表示曲线。曲线的每一个分量坐标函数都是以某个参数为自变量的某种样条函数，把它们合并起来便组成参数样条。累加弦长参数样条：以累加弦长(当作曲线的近似弧长)s参数来表示曲线，然后用三次样条函数去插值各个坐标函数累加弦长参数样条能解决“大挠度”的问题事实上当以累加弦长为参数时，对于各个坐标函数来说，坐标增量总是小于弦长，即各个坐标增量与弦长的比值。1,1dsdydsdxFerguson曲面Ferguson曲面片表达式推导参数样条曲面参数样条曲面是参数样条曲线方法向曲面的直接推广；仅当各曲线上型值点的分布规律相似时，参数曲面才显示出其优越性Coons曲面Coons对自由曲面造型做出了杰出的贡献，其方法理论严密，描述能力极强，对自由曲面造型技术的发展具有深远的意义具有给定边界的Coons曲面插值四个角点的双线性曲面线性插值两条边界的曲面双线性Coons曲面插值给定边界的Coons曲面的一般形式具有给定边界和跨界切矢的Coons曲面片具有给定边界和跨界切矢、二阶导矢的Coons曲面双三次coons曲面Bezier曲线与曲面1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种称为UNISURF的曲线和曲面设计系统，1972年，该系统被投入了应用。Bezier方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。在开始介绍贝齐埃方法之前，有必要强调以下两点：第一，在这之前所介绍的构造曲线和曲面的方法，要求曲线和曲面通过所有给定的点，并满足给定的切矢和扭矢。当使用人机对话的手段进行交互设计时，这些方法有不足之处。尤其是用切矢和扭矢的方向和大小等信息去控制曲线和曲面，不能给设计者提供所需要的直观感觉。而贝齐埃方法和后面要介绍的B样条方法，却不通过所有给定的点，更不考虑切矢和扭矢，而一般是用曲线外和曲面外的点来定义曲线和曲面。这种方法能使使用者明显地感觉到输入与输出之间的关系，使他们能够利用可控制的输入参数来改变曲线与曲面的形状，直到输出的结果与预期的形状完全相符为止。第二，在三次样条函数与孔期曲面中，采用了一套三次混合函数即埃尔米特基函数。如果不是用这些基函数而是用另外一些基函数，就可以得到另外的曲线与曲面。比如，用伯恩斯坦基函数或贝齐埃基函数或贝齐埃基函数就可构造贝齐埃曲线与曲面，用B样条基函数就可构造B样条曲线与曲面原始定义Bernstein－Bezier定义给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是：Bezier曲线的性质Bernstein多项式的性质Bernstein多项式的性质正性权性对称性导函数最大值递推性升阶Bezier曲线的性质保凸性如前所述，当用次贝齐埃曲线的特征多边形为凸时，相应的三次贝齐尔曲线也是凸的。可以证明，对于平面n次贝齐埃曲线，当其多边形为凸时，贝齐埃曲线也是凸的。变差减小性质贝齐埃曲线和任一直线相交的次数，不会超过被逼近的多边形和同一直线线相交的次数。也就是说，波动的次数少了，光滑的程度提高了。总之，伯恩斯坦多项式在很大程度上继承了被逼函数的几何特性。这样一个优良的逼近性质，使得伯恩斯坦多项式特别适用于几何设计，这是因为在这个领域里，逼近式的大范围几何性质比逼近的接近性更为重要的缘故。贝齐埃曲线在逼近特征多边形的过程中，一般说来继承了伯恩斯坦多项式良好的几何逼近性质。这样，就有可能通过调整特征多边形的顶点来有效地控制贝齐埃曲线的形状。可是应当指出，虽然高次贝齐埃曲线的特征多边形仍然在某种程度上象征着曲线的形状，但随着次数的增高，两者之间的关系有所减弱。Bezier曲线的操作修改拼接Bezier曲线的升阶和降阶有理Bezier曲线二次有理Bezier曲线Bezier曲面2)给定任一u，设u＝u1，u1[0，1]，则可在上述四条曲线上分别得到点S0(u1)，S1(u1)，S2(u1)和S3(u1)，它们构成了一个新的多边形．该多边形在w向定义了一条新的三次Bezier曲线P(u1，w)：取任一w值，如w＝w1，w[0，1]，则可求得曲线P(u1，w)上的一个点P(u1,w1)实际上，P(u1,w1)就是曲面上与参数(u1，w1)对应的一个点。3）当参数u和w在0至1的区间上遍历时，就构成肋整张双三次Bezier曲面1)特征多边形网格的四个角点A，B，C和D落在曲面的四角，其他顶点一般不在曲面上。2)多边形网格的四个边界多边形定义了曲面的四条边界。3)网格的四个内部顶点TA，TB，TC和TD不影响边界曲线的形状，但影响曲面的跨界切矢和跨界曲率，从而影响曲面的内部形状。4)SAB，SBA，…等则定义了角点处沿相应参数方向的切矢。一般表达式Bezier曲面特征多边形网格顶点的作用1)网格四角的顶点落在曲面四角．2)网格四周的多边形分别定义曲面的四条边界3)曲面边界的跨界切矢仅与定义该边界的顶点和相邻的一排顶点有关4)曲面边界的跨界曲率仅与定义该边界的顶点和相邻的两排顶点有关Bezier曲面的拼接局限与改进有理Bezier曲面