随机过程复习题

随机过程复习题一、随机过程的数字特征及平稳性1、设随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取值-1和2，讨论Z(t)的平稳性。2、设随机过程Xtet（t0），其中随机变量X具有在区间（0，T）中的均匀分布。试求随机过程（t）的数学期望和自相关函数。3、有随机过程{(t)，-t}和{(t)，-t}，设(t)=Asin(t+)，(t)=Bsin(t++),其中A，B，，为实常数，均匀分布于[0，2]，试求R(s,t)4、设有随机过程{(t)，-t}，(t)=cost,其中为均匀分布于（0，1）间的随机变量，即112311212(a)=coscos(b)C=coscos1212Rt,tttt,ttt试证：5、随机过程(t)=sin(Ut)，其中U是在[0，2]上均匀分布的随机变量。若tT,而T=[0，）,试分析（t）的平稳性。6、随机过程0=cos+tAt；式中：A、0是实常数；是具有均匀分布的随机变量：2(0=20(f其他）分析(t)的平稳性。7、随机过程(t)=Acos(t+)，-t+，其中A,,是相互统计独立的随机变量，EA=2,DA=4,是在[-5,5]上均匀分布的随机变量，是在[-，]上均匀分布的随机变量。试分析(t)的平稳性和各态历经性。8、设ttX,的均值函数为mX(t)，协方差函数为CX(t)，而(t)是一个普通函数，令ttXtY，t，试求ttY,的均值函数和协方差函数。9、设正弦波随机过程为tAtX0cos，其中0为常数，A为均匀分布在（0，1）内的随机变量，即其他,010,1aafA（1）画出过程X(t)的两个样本函数的图形；（2）试求t=0、04、02时，X(t)的一维概率密度，并画出它们的曲线。10、随机相位的正弦波过程：tAtcos，其中振幅A为常数，角频率取常数，相位是一个均匀分布于,间的随机变量。（1）求该过程的均值、方差、相关函数和协方差函数；（2）判断（t）的广义平稳性和遍历性。11、设随机过程cossin,0tAtBtt，其中为常数，A,B相互独立同分布于N（0，2）。试求随机过程（t）的均值函数、相关函数和协方差函数。判别（t）是否为平稳过程。12、设随机过程(t)有二阶矩，f(t)是非随机函数，(t)=(t)+f(t),试证：（10分）cov,cov,tsts二、马尔科夫链1、设有4个状态的马氏链，其一步转移概率矩阵为:10004/14/14/14/1002/12/1002/12/1p（1）试画出该过程的状态传递图并对状态空间进行分解；（2）求出极限分布。2、把两个黑球和两个白球放在两个坛子中，每次从每个坛子中随机的取出一球，然后把被取出的球交换放到坛子里。设(n)表示n次交换后第一个坛子里的白球数。（1）说明(n)构成一个齐次马尔科夫链，并写出状态空间；（2）写出一步、二步转移概率矩阵。3、设{(n)，n=0,1,2,…}是一齐次马尔科夫链，其一步转移概率矩阵为0.500.50000.2500.750=000.300.70.250.500.2500.300.300.4P试分析状态类型。4、一质点在圆周上做随机游动，圆周上共有N格，质点以概率p顺时针移动一格，以概率q=1-p逆时针移动一格，试确定该过程的状态空间和转移概率矩阵。5、设有三个状态的马氏链，其一步转移概率矩阵为61326195913102121p（1）试画出该过程的状态传递图并说明其状态是常返态还是非常返态。（2）求出极限分布。6、设有三个状态的马氏链，其一步转移概率矩阵为3231041412102121p（1）试画出该过程的状态传递图并说明其状态是常返态还是非常返态。（2）求出极限分布。7、设时齐马尔可夫链的转移概率矩阵为：0.30.30.400.50.5000.250.2500.500.500.5P（1）问马尔可夫链有几个状态？（2）画出状态传递图，并分析各个状态为常返态还是非常返态？8、一质点沿圆周游动。圆周按顺时针、等距排列五个点（0，1，2，3，4）把圆周分成五个格。质点每次游动或顺时针或逆时针移动一格，顺时针前进一格的概率为p，逆时针转一格的概率为1-p。设(n)代表经过n次转移后质点所处的位置（即状态），(n)是一个齐次马尔可夫链。试求：（1）状态空间；（2）一步转移概率矩阵；（3）极限概率分布。9、设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为pij（pij表示从销售状态i经过一个月后转为销售状态j的概率），一步转移开率矩阵为：61326195913102121P试对经过长时间后的销售状况进行分析。10、试对以下列矩阵为一步转移概率矩阵的齐次马尔可夫链的状态空间进行分解。（1）5.05.00005.05.0000006.004.0001.08.01.0003.007.0P（2）0000103231000010000021210004341P11、马氏链的一步转移概率矩阵为：11002211102441110424110022P（1）画出该过程的状态传递图并说明状态是常返态还是非常返态；（2）求出平稳分布。12、设时齐马尔可夫链的一步转移概率矩阵为（1）问马尔可夫链有几个状态？（2）问从第二状态至少几步才能到第三状态？（3）求2步转移概率矩阵。13、马氏链的一步转移概率矩阵为：110221304412033p（1）画出该过程的状态传递图并说明其状态是常返态还是非常返态；（2）求出极限分布。14、马氏链的一步转移概率矩阵为：11103331100221110442110022P0.500.50000.50.500.200.80100P（1）画出该过程的状态传递图并指出各状态的性质；（2）求limnijnp三、泊松过程及排队论1、设{N(t),t0}是参数为的Poisson过程，{Tn,n=1,2,…}是其到达时间间隔序列，证明T1，T2，…Tn，…均服从参数为的指数分布。2、某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程，已知商店9：00开门，试求：（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。3、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设男女顾客到达商场的人数分别独立地服从每分钟1人与每分钟2人的Possion过程。问到达商场顾客的总人数应该服从什么分布？4、设顾客以2人/min的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min内到达的顾客不超过3人的概率。5、一个服务系统，顾客按强度为的Poisson过程到达，系统内只有一个服务员，并且服务时间服从参数为的负指数分布，如果服务系统内没有顾客，则顾客到达就开始服务，否则他就排队。但是，如果系统内有两个顾客在排队，他就离开而不返回。令(t)表示服务系统中的顾客数目。（1）写出状态空间；（2）求Q矩阵。6、设N(t)为强度为的Poisson过程，若t1t2，m和n是两个整数，证明：（10分）221112,!!nmttttpNtmNtnmemn7、计算机中某个触发器，它可能有两个状态，记为0和1，假设触发器状态的变化构成一状态离散参数连续的齐次马尔可夫链，且0110ptttpttt试求：（1）无穷小转移率矩阵Q；（2）写出求转移概率矩阵P(t)的微分方程式。8、无容量限制的M/M/1排队系统，该系统的顾客到达率为，平均服务时间为1/，画出这一生灭过程的状态传递率图，并写出排队过程进入平稳状态后的平衡方程式。9、无容量限制的M/M/s排队系统，该系统的顾客到达率为，平均服务时间为1/，画出这一生灭过程的状态传递率图，并写出排队过程进入平稳状态后的平衡方程式。四、平稳随机过程及遍历性1、在噪声背景中提取周期信号是通信工程中的一个重要问题。例如在雷达接收机的输出端存在着周期信号的回波信号，又存在着随机噪声，雷达技术中一个重要问题就是要在噪声背景中识别是否有周期信号的存在。通过对接收信号的自相关函数进行分析即可检测出接收信号中是否含有周期回波信号。说明检测原理。2、随机相位的正弦波过程：tAtcos，其中振幅A为常数，角频率取常数，相位是一个均匀分布于,间的随机变量。（1）求该过程的均值、方差、相关函数和协方差函数；（2）判断（t）的广义平稳性和遍历性。3、随机相位的正弦波过程：tAtcos，其中振幅A为常数，角频率取常数，相位是一个均匀分布于,间的随机变量。（1）求该过程的均值、方差、相关函数和协方差函数；（2）判断（t）的广义平稳性及遍历性。4、设tt,是平稳过程，令tttt,cos0，其中0是常数，为均匀分布在[0,2]上的随机变量，且tt,与相互独立，R()和S()分别是tt,的相关函数与功率谱密度，试证：（1）tt,是平稳过程，且相关函数：0cos21RR（2）tt,的功率谱密度为：0041SSS5、说明如何利用相关法对混有噪声的弱周期信号进行检测？6、在噪声背景中提取周期信号是通信工程中的一个重要问题。例如在雷达接收机的输出端存在着周期信号的回波信号，又存在着随机噪声，雷达技术中一个重要问题就是要在噪声背景中识别是否有周期信号的存在。通过对接收信号的自相关函数进行分析即可检测出接收信号中是否含有周期回波信号。说明检测原理。7、写出线性系统输入、输出随机过程功率谱密度之间关系。8、随机相位的正弦波过程：tAtcos，其中振幅A为常数，角频率取常数，相位是一个均匀分布于,间的随机变量。（1）求该过程的均值和相关函数；（2）判断（t）的广义平稳性。9、试计算它的时间平均值和时间相关函数；问该过程是否具有各态历经性？10、什么是随机信号的功率谱密度？它与自相关函数有什么关系？11、什么是遍历性过程？12、设一个随机过程(t)的功率谱密度：9104242S求一个可实现的稳定系统H(j)，使得输入为白噪声时（功率谱密度为S()=1），输出过程的功率谱密度恰为S()。