复变函数与积分变换试题及答案

1第一套第一套一、选择题（每小题3分，共21分）1.若（），则复函数()(,)(,)fzuxyivxy是区域D内的连续函数。A.(,)uxy、(,)vxy在区域D内连续；B.(,)uxy在区域D内连续；C.(,)uxy、(,)vxy至少有一个在区域D内连续；D.以上都不对。2.解析函数()fz的实部为sinxuey，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（）。A.cosxeyC；BcosxeyC；CsinxeyC；DcosxeyC3.2|2|1(2)zdzz（）。A.i2；B.0；C.i4；D.以上都不对.4.函数()fz以0z为中心的洛朗展开系数公式为（）。A.101()2()nnfdcizB.0()!nnfzcnC.201()2nkfdcizD.210!()2()nnknfdciz5.z=0是函数zzsin2的（）。A.本性奇点B.极点C.连续点D.可去奇点6.将点，0，1分别映射成点0，1，的分式线性映射是（）。A.1zzwB.z1zwC.zz1wD.z11w7.sinkt（）L（），（Re0s）。A.22ksk；B.22kss；C.ks1；D.ks1.二、填空题（每小题3分，共18分）1.23(1)i[1]；----------------------------------------装--------------------------------------订-------------------------------------线----------------------------------------------------22.幂级数1nnnz！收敛于[2]；3.设0Z为复函数）（zf的可去奇点，则）（zf在该点处的留数为[3].；4.通过分式线性映射zkz（k为待定复常数）可将[4]映射成单位圆内部1；5.一个一般形式的分式线性映射可由zb、az、1z三种特殊形式的映射复合而成，分别将平面看成z平面的平移映射、旋转与伸缩映射、[5]；6.求积分()ixexdx[6]；三、判断题（每小题2分，共10分）1.平面点集D称为一个区域，如果D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来，这样的集合称为连通集。（）2.()(,)(,)fzuxyivxy在区域D内解析的充要条件是：(,)uxy与(,)vxy在D内可微，且满足C-R方程。（）3.将z平面上一个点集映射到平面上一个点集，z的参数方程是：()zzt，的参数方程是：[()]fzt，则函数z与导数满足伸缩率不变性、旋转角不变性和保角性。（）4.拉氏变换的微分性质为：若[()]()ftFsL，则[()]()(0)fttFsfL。（）5.傅里叶级数001()cos()nnnftcAnt表示一个周期为T的信号()ft可以分解为简谐波之和，这些简谐波的（角）频率分别为一个基频0的倍数。（）四、计算题（前四题，每小题9分，第五题，15分，共51分）1.当ba，分别等于多少时，函数）（3223y-ybxix)z(faxy在复平面上处处解析?32.计算2||2(8)()zzdzzzi。3.将函数在指定圆环内处展开为洛朗级数：21()(1)zfzzz，0||1z.4.利用留数定理计算积分22||2sin(1)zzdzzz5.求微分方程组(29)(3)0(0)(0)1(27)(5)0(0)(0)0xxxyyyxxxxxyyyyy的解一、选择题（每小题3分，共21分）1.A2.B3.B4.A5.A6.D7.A.二、填空题（每小题3分，共18分）1.34k4k2[cosisin]k0,1,26363；或533336622,2,2eee42.ze；3.0；4.上半平面Imz0；5.反演映射6.1.三、判断题（每小题2分，共10分）1.×2.√3.√4.√5.√四、计算题（前四题，每小题9分，第五题，15分，共51分）1.解：3223yybxvaxyxu,uvxyuvyx（3分）222222223,2,2,333,22uuvvxayaxybxybxyxyxyxaybxyaxybxy（3分）33ba,（3分）2.解：2z2zdz8-z(zi)（）228ziziz（5分）（或判断出-i在圆内，22不在圆内，得2分）29（4分）3.将函数在指定圆环内处展开为洛朗级数：1z0,1)(zz1z)z(f22222z1z12121f(z)z(z1)z(z1)1zzz（5分）（或：写出洛朗级数公式2分）22012nnzzz2212222nzzzz1z0（4分）4.解：由于函数在积分区域内有可去奇点z=0与单极点z=1（4分）2221sinRe((),0)0,Re((),1)lim(-1)sin1(-1)zzsfzsfzzzz（3分）5由留数定理，原积分22sin1i（2分）5.解：2222(29)()(3)()12(27)()(5)()32ssXsssYssssXsssYss（4分）整理得2222()()41()()1sXsYssXsYss（4分）解得222211211()31343421211()313434sXsssssYssss（4分）再取拉氏变换得到其解为：121()cos2sin2333221()cos2sin2333ttxtettytett（3分）第二套一、选择题（每小题3分，共21分）1.13i的指数式为（）。A、232ieB、23ieC、32ieD、62ie2.复函数LnZ（）。A在复平面上处处解析；B在复平面上处处不解析；C除去原点外处处解析；D除去原点及负半实轴外处处解析.3.由柯西积分公式得，积分||12zdzz的值为（）。A.0B.1C.2D.无解4.洛朗级数的正幂部分叫（）。A、主要部分B、解析部分C、无限部分D、都不对65.z1sin在点z=0处的留数为（）。A.-1B.0C.1D.26.保角映射具有的性质有（）。A.反演性、保圆性、保对称性B.共形性、保角性、保对称性C.共形性、保圆性、保对称性D.反演性、保角性、保对称性7.kt（e）L（），（Resk）。A.22ksk；B.22kss；C.ks1；D.ks1.二、填空题（每小题3分，共18分）1.53i=[1]。2.幂级数21!nnnnzn收敛半径为：[2]。3.孤立奇点可分为可去奇点、极点和[3]三种。4.通过分式线性映射1izez，(1，为实数)可将[4]映射成单位圆内部1。5.在扩充复平面上两点1z与2z是关于圆周C的对称点的充要条件是通过1z与2z的任何圆周与C[5]。6.按定义，函数()fx的傅里叶变换式为[6]。三、判断题（每小题2分，共10分）1.如果平面点集G中的每一点都是它的内点，则称G为开集。（）2.lnz的所有分支可表示为ln2zLnzki。（）3.设函数fz在0z的邻域内有定义，且在0z具有保角性和伸缩率不变性，则称fz在0z时共形的。（）74.傅里叶级数001cosnnnftcAnt中/20/21TTcftdtT的物理意义：表示周期信号在一个周期内的平均值，也叫做交流分量。（）5.拉氏变换的微分性质为：若[()]()ftFsL，则[()]()(0)fttFsfL。（）四、计算题（前四题，每小题9分，第五题，15分，共51分）1.设3232mynxyixlxy为解析函数，试确定l,m,n的值2.计算积分3Czdzz，:2Cz；3.将下列各级数在指定圆环域内展开为洛朗级数2112zz，12z；4.利用留数定理求积分（圆周均取正向）152332412zzdzzz85.求微分方程式的解(4)cos(0)(0)(0)0(0)yytyyyyc（c为常数）第二套一、选择题（每小题3分，共21分）1.C2.D3.A4.B5.C6.C7.C.二、填空题（每小题3分，共18分）1.163i2.03.本性奇点4.单位圆内部1z5.正交6.itFftedt三、判断题（每小题2分，共10分）1.√2.×3.√4.×5.√四、计算题（前四题，每小题9分，第五题，15分，共51分）1.解：由题意知：实部32umynxy、虚部32vxlxy2unxyx，223umynxy，223vxlyx，2vlxyy（2分）由于3232mynxyixlxy为解析函数，故有uvxyuvyx（2分）即22222233nxylxymynxxly（3分）解得m=1，n=-3，l=-3（2分）2.解：由z-3=0，得奇点为z=3（3分）此时不在C的环域内，由柯西基本定理（3分）知03Czdzz（3分）3.解：22121555112zzzz（3分）922222111121111115510121112zzzzzzzz2121000112111155102nnnnnnnnnzzz（3分）2343221112111112555510204080zzzzzzzz（3分）4.解：函数15232412zzz在3z的外部，除点外没有其他奇点，因此根据定理二与规则四有：1523242Re,12Czdzisfzzz（3分）2112Re,0isfzz（3分）232412Re,0112iszzz2i（3分）5.解：方程两边取拉氏变换，得432s()()1sYscssYscs（2分）解出3221()(1)(1)cYsssss（3分）12222221[]Re[,0]Re[,1](1)(1)(1)(1)(1)(1)ststeesssssssssssL2222Re[,]Re[,](1)(1)(1)(1)ststeesisissssss（3分）2222201lim()lim()lim()lim()(1)(1)(1)(1)()(1)()ststststsssisieeeesssssssisssi111(cossin)22ttett（2分）因此，原方程的解11132211()[()][][](1)(1)ytYscssssLLL2111(cossin)222tcttett（5分）第三套10一、填空题（每空2分，共20分）1．复数312i的实部为[1]，虚部为[2]及其共轭复数为[3].2．已知()fzuiv是解析函数，其中221ln()2uxy，则vy[4].3．设C为正向圆周1z,则dziezC22=[5].4．幂级数31nnzn的收敛半径为[6].5．0z是ln(1)()zfzz的奇点，其类型为[7].6．设211()1(1)(1)(1)(1)(1)