数列题库难题集

第1页共6页◎第2页共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前学科题库数列题选难度：0.8~1.0注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上1．（本小题满分14分）已知数列{}na（*Nn，146n≤≤）满足1aa，1,115,1,1630,1,3145,nndnaannd≤≤≤≤≤≤其中0d，*Nn．（1）当1a时，求46a关于d的表达式，并求46a的取值范围；（2）设集合{|,,,,116}ijkMbbaaaijkijkN≤≤．①若13a，14d，求证：2M；②是否存在实数a，d，使18，1，5340都属于M？若存在，请求出实数a，d；若不存在，请说明理由．2．（本小题满分16分）设数列na的前n项和为nS，满足2nnaSAnBnC*(0,)AnN．（1）当1C时，①设nnban，若132a，294a．求实数,AB的值，并判定数列nb是否为等比数列；②若数列na是等差数列，求1BA的值；（2）当0C时，若数列na是等差数列，11a，且*nN，221131111niiinaa，求实数的取值范围．3．（本小题满分13分）已知二次函数()yfx的图象的顶点坐标为1(1,)3，且过坐标原点O.数列{}na的前n项和为nS，点(,)()nnSnN在二次函数()yfx的图象上.（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设1cos(1),()nnnbaannN，数列{}nb的前n项和为nT，若2nTtn对nN恒成立，求实数t的取值范围；（Ⅲ）在数列{}na中是否存在这样一些项：123,,,,,knnnnaaaa123(1nnn,)knkN，这些项都能够构成以1a为首项，(05,)qqqN为公比的等比数列{},knakN？若存在，写出kn关于k的表达式；若不存在，说明理由.4．（本小题满分13分）设数列na满足：①11a；②所有项*Nan；③1211......nnaaaa．设集合,*mnAn|ammN，将集合mA中的元素的最大值记为mb，即mb是数列na中满足不等式nam的所有项的项数的最大值．我们称数列nb为数na的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（Ⅰ）若数列na的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列na；（Ⅱ）设13nna，求数列na的伴随数列nb的前30项之和；（Ⅲ）若数列na的前n项和2nSnc（其中c常数），求数列na的伴随数列mb的前m项和mT．5．(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分.已知数列na是公差不为0的等差数列，13,2a数列nb是等比数列，且11ba，2334,baba，数列nb的前n项和为nS，记点*(,),nnnQbSnN．（1）求数列nb的通项公式；（2）证明：点123nQQQQ、、、、、在同一直线l上，并求出直线l方程；（3）若1nnASBS对*nN恒成立，求BA的最小值．6．（本题满分13分）已知函数2()sinfxxx，各项均不相等的有限项数列{}nx的各项ix满足||1ix．令11()()nniiiiFnxfx，3n且nN，例如：123123(3)()(()()())Fxxxfxfxfx．（Ⅰ）若2nfan，数列na的前n项和为Sn，求S19的值；第3页共6页◎第4页共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（Ⅱ）试判断下列给出的三个命题的真假，并说明理由。①存在数列{}nx使得()0Fn；②如果数列{}nx是等差数列，则()0Fn；③如果数列{}nx是等比数列，则()0Fn。7．已知数列na是等差数列，其前n项和为Sn，若410S，1391S．（1）求nS；（2）若数列{Mn}满足条件：11tMS，当2n≥时，nntMS－1ntS，其中数列nt单调递增，且11t，ntN．①试找出一组2t，3t，使得2213MMM；②证明：对于数列na，一定存在数列nt，使得数列nM中的各数均为一个整数的平方．8．（本题满分10分）已知数列{an}中，a1=43，an+1=（n∈N*）．（1）求证：数列{}是等差数列，并求{an}的通项公式；（2）设bn+an=l（n∈N*），S=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，试比较an与8Sn的大小．9．给定数列{}:1,12,123,...123...,...nan(1)判断2a是否为有理数,证明你的结论;(2)是否存在常数0M.使naM对*nN都成立?若存在,找出M的一个值,并加以证明;若不存在,说明理由.10．若数列{}na满足条件：存在正整数k，使得2nknknaaa对一切,nNnk都成立，则称数列{}na为k级等差数列．（1）已知数列{}na为2级等差数列，且前四项分别为2,0,4,3，求89aa的值；（2）若2sin(nann为常数），且{}na是3级等差数列，求所有可能值的集合，并求取最小正值时数列{}na的前3n项和3nS；（3）若{}na既是2级等差数列{}na，也是3级等差数列，证明：{}na是等差数列．11．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．如果数列na同时满足：（1）各项均为正数，（2）存在常数k,对任意*212,nnnnaaakN都成立，那么，这样的数列na我们称之为“类等比数列”.由此各项均为正数的等比数列必定是“类等比数列”.问：（1）若数列na为“类等比数列”，且k＝(a2－a1)2，求证：a1、a2、a3成等差数列；（2）若数列na为“类等比数列”，且k＝0，a2、a4、a5成等差数列，求a2a1的值；（3）若数列na为“类等比数列”，且a1＝a，a2＝b(a、b为常数)，是否存在常数λ，使得21nnnaaa对任意*nN都成立？若存在，求出λ；若不存在，说明理由．12．各项均为正数的数列{an}中，设12nnSaaa，12111nnTaaa，且(2)(1)2nnST，*nN．（1）设2nnbS，证明数列{bn}是等比数列；（2）设12nncna，求集合*,,|2,,,,mrkmkrcccmkrmkrN．13．一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数5n）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：2,11,11,2fff；,fij为数表中第i行的第j个数．（1）求第2行和第3行的通项公式2,fj和3,fj；（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列；（3）求,1fi关于i（1,2,,in）的表达式．1,11,21,11,2,12,22,13,13,2,1fffnfnfffnffnfn14．设2()fxxx,用)(ng表示()fx当[,1](*)xnnnN时的函数值中整数值的个数.(1)求)(ng的表达式.(2)设32*23()()nnnanNgn,求2121(1)nknkkSa.(3)设12(),2nnnngnbTbbbL,若)(ZllTn,求l的最小值.15．已知数列na中，)(3,1*11Nnaaaannn(1)求2a，3a；第5页共6页◎第6页共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（2）求证：211na是等比数列，并求na的通项公式na；（3）数列nb满足nnnnanb2)13(，数列nb的前n项和为nT，若不等式12)1(nnnnT对一切*Nn恒成立，求的取值范围.16．我们把一系列向量(1,2,...,...)iain排成一列，称为向量列，记作{}na，又设(,)nnnaxy，假设向量列{}na满足：1(2,2)a，11111(3,3)(2)22nnnnnaxyxyn。（1）证明数列{||}na是等比数列；（2）设n表示向量*1,()nnaanN间的夹角，若sin2nnbn，记{}nb的前n项和为nS，求3mS；（3）设()fx是R上不恒为零的函数，且对任意的,abR，都有()()()fabafbbfa，若(2)2f，2*||()8()nnafunNn，求数列{}nu的前n项和nT.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第1页，总1页参考答案1．（1）,4614,；（2）①证明见解析；②不存在实数da,．2．（1）①13,22AB，数列nb是等比数列；②3；（2）33．（Ⅰ）21()3nnanN；（Ⅱ）5(,].9（Ⅲ）存在，31().2kknkN4．（Ⅰ）1,4,7；（Ⅱ）84；（Ⅲ）*12342121,2,,()ttbbbbbbttN,2**(1)(21,)4(2)(2,)4mmmttNTmmmttN.5．（1）131()22nnb，（2）330xy（3）17126．（Ⅰ）250；（Ⅱ）①③是真命题；②是假命题7．（1）22nnnS（2）①24t，313t②详见解析8．（Ⅰ）*2()3nnannN；（Ⅱ）2n≤时，8nnaS；当3n≥时，8nnaS；9．(1)2a是无理数(2)3M(或4M等).则对*nN,均有3na成立.证明略.10．（1）19，（2）2{|()}{|()}3kkZkkZ，（3）详见解析.11．（1）详见解析，（2）112qaa或25112qaa，（3）abkba2212．（1）详见解析，（2）111(1,3,4),(21,2,2)iiiii（*iN）．13．(1)(2,)84fjj,(3,)1616fjj；（2）证明见解析，(,1)(1)2ifii；（3）()2igi．14．（1）*()23()gnnnN；(2)2(1)nSnn；(3)l的最小值是7.15．（1）1,4113;（2）132nna;（3）32.16．（1）证明过程见试题解析（2）当2mk时，30mS；当21mk时，33mS（3）*1()1()2nnTnN