高考文理科椭圆大题运用

（2016新课标全国卷Ⅰ文科）（5）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（）（A）13（B）12（C）23（D）34（2016新课标全国卷Ⅱ文科）(5)设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（）（A）（B）1（C）（D）2（2016新课标卷Ⅰ文科）（20）在直角坐标系中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.（I）求；（II）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.（Ⅰ）由已知得，.又为关于点的对称点，故，的方程为，代入kx1232xOy22(0)ypxpOHON),0(tM),2(2tptPNMP),(2tptNONxtpypxy22整理得，解得，，因此.所以为的中点，即.（Ⅱ）直线与除以外没有其它公共点.理由如下：直线的方程为，即.代入得，解得，即直线与只有一个公共点，所以除以外直线与没有其它公共点.（2016全国卷Ⅰ理科）20.（本小题满分12分）设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为，，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.（2016新课标全国卷Ⅱ理）20.（本小题满分12分）已知椭圆E:2213xyt的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A,M0222xtpx01xptx222)2,2(2tptHNOH2||||ONOHMHCHMHxtpty2)(2typtxpxy2204422ttyytyy221MHCHMHC两点，点N在E上，MA⊥NA.（I）当t=4，AMAN时，求△AMN的面积；20.（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）14449；【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM的方程，再求点M的纵坐标，最后求AMN的面积；试题解析：（I）设11,Mxy，则由题意知10y，当4t时，E的方程为22143xy，2,0A.由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为4.因此直线AM的方程为2yx.将2xy代入22143xy得27120yy.解得0y或127y，所以1127y.因此AMN的面积11212144227749.（2016新课标全国卷Ⅱ文科）（21）（本小题满分12分）已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，.（I）当时，求AMN的面积(II)当2时，证明：.（21）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）32,2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM的方程，再求点M的纵坐标，最后求AMN的面积；（Ⅱ）22143xy0kk＞MANAAMANAMAN32k设11,Mxy，，将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组，消去y，用k表示1x，从而表示||AM，同理用k表示||AN，再由2AMAN求k.试题解析：（Ⅰ）设11(,)Mxy，则由题意知10y.由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为4，又(2,0)A，因此直线AM的方程为2yx.将2xy代入22143xy得27120yy，解得0y或127y，所以1127y.因此AMN的面积11212144227749AMNS.（2）将直线AM的方程(2)(0)ykxk代入22143xy得2222(34)1616120kxkxk.由2121612(2)34kxk得2122(34)34kxk，故2212121||1|2|34kAMkxk.由题设，直线AN的方程为1(2)yxk，故同理可得22121||43kkANk.由2||||AMAN得2223443kkk，即3246380kkk.设32()4638ftttt，则k是()ft的零点，22'()121233(21)0ftttt，所以()ft在(0,)单调递增，又(3)153260,(2)60ff，因此()ft在(0,)有唯一的零点，且零点k在(3,2)，所以32k.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.（2015新课标卷Ⅰ文科）20.（本小题满分12分）已知过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆C：22231xy交于M，N两点.（I）求k的取值围；（II）若12OMON，其中O为坐标原点，求MN.20、解：（I）由题设，可知直线l的方程为1ykx.因为l与C交于两点，所以223111kk.解得474733k.所以k的取值围为4747(,)33.……5分（II）设1122,,(,)MxyNxy.将1ykx代入方程22(2)(3)1xy，整理得22(1)4(1)70kxkx.所以1212224(1)7,11kxxxxkk.故圆心C在l上，所以2MN.……12分（2015卷文科）20、（本小题满分14分）已知过原点的动直线l与圆1C:22650xyx相交于不同的两点，．1求圆1C的圆心坐标；2求线段的中点的轨迹C的方程；3是否存在实数k，使得直线L:4ykx与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值围；若不存在，说明理由．20.【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．（1）圆222211:65034,3,0Cxyxxy化为所以圆C的圆心坐标为（2）设线段AB的中点M,,ooxy由圆的性质可得1CM垂直于直线l设直线l的方程为00(lk1,,cmymxmymx已知直线的斜率存在），所以所以00001,3yyxx所以222200000393024xxyxy即因为动直线l与圆1C相交，所以23m1m2，所以2m45；所以22200ymx220004,5xx所以3x2004,x5x解得53或0x0,又因为003,x所以5303x.所以00,Mxy满足22003953.243xyx即223953.243xyx（3）由题意知直线l表示过定点T4,0,斜率为k的直线结合图形，22000395525324333xyxx表示的是一段关于轴对称，起点为，按逆时针方向运动到52533，的圆弧，根据对称性，只需讨论在x轴对称下方的圆弧。设P52533，，则25253,5743PTk而当直线L与轨迹C相切时，2343221kkk，解得34k，在这里暂取34k，因为25734，所以PTkk结合图形，可得对于X轴对称下方的圆弧，当或时，直线L与X轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知或.（2015卷理科）20．（本小题满分14分）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，.（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点：若存在，求出的取值围；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）由得，∴圆的圆心坐标为；（2）设，则∵点为弦中点即，∴即，∴线段的中点的轨迹的方程为；（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线：过定点，当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点．【考点定位】本题考查圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用，属于中高档题．（2015卷文科）20、（本小题满分12分）已知椭圆C：（0）的离心率为，点（2，）在C上。（I）求C的方程.（II）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.（20）解：LDxyOCEF（Ⅰ）由题意有2222242,12abaab，解得228,4ab。所以C的方程为221.84xy（Ⅱ）设直线1122:(0,0),(,),(,),(,).MMlykxbkbAxyBxyMxy将ykxb代入22184xy得222(21)4280kxkbxb故12222,22121mmmxxkbbxykxbkk于是直线OM的斜率11,.22momommykkkxk即所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。(2014卷文科B卷）22220022222520.:1(0)(5,0),.3(1);(2)(,),,.55:(1)5,,3,954,31.94(2),,4xyCababCPxyCPCPcceabacaaxyCxy已知椭圆的一个焦点为离心率为求椭圆的标准方程若动点为椭圆外一点且点到椭圆的两条切线相互垂直求点的轨迹方程解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P共个002200222000022222000000(3,2),(3,2).(),(),194(94)18()9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4yykxxxyykxxykxkykxxykxkykxykxkykx,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:依题意即:即22222000001220220022(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2),13.kyxkxykykkxxyPxy两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方程点的轨迹方程为（2013卷文科A）9．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为(1,0)F，离心率等于21，则C的方程是A．14322yxB．13422yxC．12422yxD．13422yx（2013卷文科A）20．（本小题满分14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点0,0Fcc到直线:20lxy的距离为322．设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线,PAPB，其中,AB为切点．(1)求抛物线C的方程；(2)当点00,Pxy为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求AFBF的最小值．【解析】（1）依题意023222cd，解得1c（负根舍去）抛物线C的方程为24xy；（2）设点11(,)Axy,22(,)Bxy，),(00yxP，由24xy,即214yx,得y12x.∴抛物线C在点A处的切线PA的方程为)(2111xxxyy，即2111212xyxxy.∵21141xy，∴112yxxy.∵点),(00yxP在切线1l上,∴10102yxxy.①同理，20202yxxy.②综合①、②得，点1122(,),(,)AxyBxy的坐标都满足方程yxxy002.∵经过1122(,),(,)AxyBxy两点的直线是唯一的，∴直线AB的方程为yxxy002，即00220xxyy；（3）由抛物线的定义可知121,1AFyBFy，所以121212111AFBFyyyyyy联立2004220xyxxyy，消去x得22200020yyxyy，2212001202,yyxyyyy