《幂函数》教案

3.3幂函数（1）教案【教学目标】【知识与技能】1.理解幂函数的概念.2.通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.【过程与方法】通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法.【情感、态度价值观】1.进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法.2.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质.3.通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点.【重点难点】重点：通过六个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律．难点：画六个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质.【突破方式】教师引导学生动手作图、媒体演示多个幂函数图象，深化学生对图象的直观认识；观察幂函数图象，归纳幂函数的性质，加强学生对幂函数性质的理解和记忆.【教学策略】【教学顺序】复习引入，归纳定义，研究图象，归纳性质，应用性质.【教学方法与手段】1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性.2．利用投影仪及计算机辅助教学.超级链接到课件3.3幂函数（1）（个人独立制作）【教学过程】创设情境前面我们学习了函数定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数.函数这个大家庭有很多成员，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等.它们在数学中的都承担着各自的任务，每个成员又都有它们各自鲜活的个性.今天，我们利用研究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员.请大家看如下问题.请将下列问题中的y表示成x的函数.1.如果张红购买了每千克1元的水果x千克，那么她需要支付y=x元;2.如果正方形的边长为x，那么正方形的面积y=x2;3.如果立方体的边长为x，那么立方体的体积y=x3;4.如果一个正方形场地的面积为x，那么这个正方形场地的边长y=21x;5.如果某人以xm3/s的速度向蓄水池注入了体积为1m3的水，那么他注水的时间y=x-1s.（板书：.,,,,,12132xyxyxyxyxy）抽取这几个解析式结构上的共同特征：我们能够发现它们的右端都是幂的形式，并且底数是自变量x，幂指数是常数.也就是说，它们可以写成axy的形式，这种形式的函数就是幂函数.（板书课题：幂函数）探究新知幂函数的定义（形式定义）一般地，形如)(Rxy的函数称为幂函数，其中是常数.自变量x是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量x，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函数，就是幂函数.请同学们举出一个具体的幂函数.从引例和同学们刚才举的例子中，我们可以发现，幂指数可以是正数、负数，也可以是0.幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.课堂练习1．指出下列函数中的幂函数..,,,,5xyxyxyxxyxy51222探究新知按照从特殊到一般的原则，我们先来研究几个具有代表意义的幂函数..,,,,,212132xyxyxyxyxyxy请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象.我们在前面的课程中已经研究过了函数yx与2yx的性质，它们的图象已经呈现在坐标纸中了，在这里，我们只画出余下四个函数的图象.（时间关系，分四组）根据手里作出的图象，以小组为单位对照函数图象，讨论以下四个问题：1.描点法画函数图象的步骤；（列表、描点、连线）2.互相检查函数图象的画法，图象是否一致；3.讨论在画图象过程中出现的问题；4.探究幂函数图象的变化规律，归纳幂函数的性质.通过刚才观察同学们作图，其中几个同学的图象特别规范，请看.变化趋势.首先可以很明显的看到，上述六个幂函数的图象都过同一个定点（1，1）.（一边分析函数图象的特征，一边总结函数性质，填写表格.）3yx2yxyx12yx1yx2xy定义域RRR[0，+∞）|0xx|0xx值域R[0，+∞）R[0，+∞）0|yy（0，+∞）奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数偶函数单调性递增（-∞，0）减递增[0，+∞）增（-∞，0）减（-∞，0）增（0，+∞）增（0，+∞）减（0，+∞）减定点（1，1）从这些函数的图象我们可以看到，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图象也存在着差异，请同学们根据这个表格，寻找这6个幂函数的共性？定义域不同，但有公共区间（0，+∞）.为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把6个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中.（这是幂函数……的图象……）总结性质虽然这6个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征.这6个幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）.注意到这6个幂函数在第一象限内的单调性的差异，我们来观察当0时的函数图象，（演示几何画板，隐藏0时图象）很明显，它们的图象除了过点（1，1）外，还过原点，并且在区间),0[上是增函数．再来观察当0时的函数图象，（演示几何画板，显示0时图象，隐藏0时图象）幂函数在区间),0(上是减函数．在第一象限内，当自变量x取值从右边趋于0时，图象在y轴右方无限地靠近y轴，但不与y轴相交，当自变量x取值趋于时，图象在x轴上方无限地靠近x轴，但不与x轴相交．演示画板，改变幂指数的值，观察函数图象的变化趋势，不难发现，所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；当幂指数0时，幂函数都过原点，在),0[上是增函数；当幂指数0时，在),0(上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于0时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．性质总结如下：00在（0,+∞）有定义，图象过点（1,1）；在),0[上是增函数在),0(上是减函数图象过原点在第一象限内，当x从右边趋向于0时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．下面我们应用幂函数的性质来解决问题.例题解析例1比较下列两个代数式值的大小：.2,)2)(4(;,)1)(3(;)3(,)2)(2(;4.2,3.2)1(323225.15.123234343aaa分析：观察所给的两个代数式，都是幂的形式.又因为幂指数相同，而底数不同，所以想到要利用幂函数的性质解决此类问题.（1）解：考察幂函数43xy，因为43xy在（0，+∞）上单调递增，而且2.32.4,所以43434.23.2.以下各题同理可解：.2)2)(4(;)1)(3(;)3()2)(2(323225.15.12323aaa例2讨论函数32xy的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．解：要使3232xxy有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R．∵f（－x）＝3232)(xx＝f（x），∴函数32xy是偶函数；x01234…yx011.592.082.52…其图象如右图所示．幂函数32xy在［0，＋）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减．思考与讨论幂函数)(Rxy，当,5,,3,1（正奇数）时，函数有哪些性质？（演示画板）定义域为R，值域为R，是奇函数，在（-∞，+∞）上是增函数.当,6,,4,2（正偶数）时，这类幂函数的性质和特点，留做同学们课下讨论.课堂练习2．幂函数43xy的单调递增区间是________.答案：,03．2121211.1,9.0,2.1cba的大小关系是________.答案abc归纳小结本节课我们学习了幂函数的定义，通过作出6个具有代表意义的幂函数的图象，归纳总结幂函数的共同性质，这也是我们研究函数的一般思想方法.布置作业作出函数23xy的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明.通过本节课的学习，相信幂函数已经在大家的头脑中留下十分深刻的印象.最后，让我们在悠扬的音乐声中给大家展示一个数学公式，这是作为基本初等函数的幂函数在高等数学中的应用，用含有阶乘的幂指数是正整数的幂函数形式来表示xe——泰勒公式.)(!!3!2132Rxnxxxxenx