APT模型--资本资产定价的套利理论

资本资产定价的套利理论（完整版）这篇论文的目的是为了严苛的检查罗斯的资本资产定价的套利模型。这个套利模型是作为均值-方差的资本资产定价模型的替代模型而提出，被夏普、林特纳和特雷诺所介绍，现在已经成为一个主要的用于检查观察到的资本市场的风险资产的一些现象的主要分析工具。均值方差模型的首要关系是认为任何资产i的预期回报是iibE，这里的是无风险利率，是市场的预期超额收益，mE，是这个市场的贝塔系数，2m是市场组合的方差，2im是第i个资产的回报和市场组合的协方差。（如果不存在一个无风险资产的话，那么就是0贝塔回报，依此类推市场组合所有不相关证券投资组合的回报）。（1）式中的线性关系取决与市场组合中均值方差的效率，但是从理论上来说，不管是证明回报在常态下的假定（或是基于非线性的扩散模型下的局部常态）还是确保这种效率的二次项参数选择都是很困难的，而且主观上来说结论的得出和这个理论的假说都遭到了攻击。虽然一直以来都认为此假说的限制是均值方差模型的基础，但是它在（1）式中体现出来的易处理性与回报和风险的线性关系的显而易见性都确保了它的流行。另一个可供选择的理论是罗斯发展的另一个风险资产定价理论，它包含了原始理论的直观结果。根据它最直白的要件提出的论点如下：假设随机回报资产的一个子集可以通过一个简单的因素模型表示其中是一个均值为0的公因子，Ci均值为0，矢量完全独立并符合大数定律。忽略扰乱项，i，像罗斯讨论过的那样。（2）式代表一个状态空间，里面所有的资产的回报都位于一个二维的空间并可以通过一个向量元素来跨越。（其中表示了这个空间的状态），而常数向量e恒等于1.步骤1、对于一个套利组合，对于n中资产来说，一个没有使用财富的组合，0e。我们也会要求是一个多元化的投资组合，它的每一个组件i，按照顺序1/n占据绝对的大小。步骤2、按照大数定律，对于大数n的回报的套利组合换句话说，多元化投资组合的独立干扰项对它的影响就可以忽略不计了。步骤3，如果现在我们要求选择套利组合比便没有系统风险的话，而且从3式可以得到步骤4，不使用任何财富，随机项~x就会被设计为等同于确定项，E，因此为了避免非均衡的套利位置，我们必须让0E。因为这个限制条件必须满足所有的如0BE，E的两端是e和或者iiE（4）其中的和是常量。显然如果有一个无风险资产，那么一定是它的回报率。尽管可能并没有这样一个资产，那么也仍然是所有贝塔系数为0的资产组合的回报，可以得到这样的组合即，1e和1。如果是一个特殊组合的回报率，举例来说。市场组合中对于m有EEmm,那么（4）式就变为（5）条件（5）是等同于（1）的套利理论，而且如果是一个市场要素回报，那么i将近似于ib。然而，以上的方法实际上与普通的均值方差分析不同，而且构成一个相近的但是又相当不同的理论。首先，争论点在于（5）式不仅满足于均衡条件下的情况还满足更深刻涵义上的经济均衡。另外，市场组合并没有扮演一个特别的角色。然而，还有一些启发性参数上的弱点。举例来说，随着资产数量的增加，n会增加，财富一般来说也会。但财富的增加可能会增加一些经济代理商的风险厌恶程度。像大数法则暗示的那样，在第2个步骤，干扰项对于足够大的n来说可以忽略不计，但如果风险厌恶程度随着n的增加而增加，那么这两个影响就可能相互抵消，那么干扰项的就可能一直存在并影响定价。在第一部分，我们将展示一个发生这种情况的市场的例子。然后，尽管干扰项可以被忽略，但它一点也不会像（5）中必须持有的那么明显，因为一个代理的不平衡一定会被另一个不平衡的位置所抵消。然而在罗斯看来，研究结果表明如果持有（5）然后它代表一个或准均衡。那么本文的目的就是提供在更强的稳定性基础上的严格的分析。在第二部分，我们将提供一些相对较弱充分条件来排除以上的例外（和第一部分中的例子）而且我们将证明一个一般版本的套利结果。第二部分还包括在实证结果实用性方面的一个简短的论点。附加数学方面包含一些支持结果有一些技术和切线的东西。一、一个反例在这部分，我们将展示一个例子，如果市场的序列均衡定价关系并不接近随着资产数量的增加的套利理论所预测的。那么这个反例就是有价值的，因为它表明什么样的情况要采取额外的假设来验证这个理论。假设有一个无风险资产和风险资产都是独立的而且通常像如下这样分配，其中套利参数将意味着，在所有的平衡条件下的独立风险都会消失，因此，然而假设市场是由一个单独的代理与冯诺依曼-摩根斯特恩的持续不断绝对风险规避的效用函数所组成，让w代表无风险资产为单位的财富，代表无风险资产组合用我们现有的期望一阶最大化条件是如果无风险资产是作为一个单位支撑预算约束（瓦尔拉斯定律对于市场）就变成了对于预算约束的解释11取决于我们描述的特定市场情况。首先假设我们是增加资产支付了一个随机的总金额计价单位，如果p是当前价格计价单位的资产，那么规范所有风险资产成一个单位供应我们必须有然后根据预算约束简单的断言，财富总价值是（式子）如果我们让ci代表ci~和c2的均值，加上它的方差，那么10可以用pi表示为作为结论，预期回报将不受资产数量变化的影响，因为in,而且需要忍受与n的增加没有系统性的关系。这是违背套利条件的，（7）.注意，只要ci是有界的并位于Ac2之上。财富和相关风险规避，Aw，不以n为界。另一种对市场情况的解释是，随着n的增加风险投资机会或活动也会增加，但不是资产数量的增加。这样的话财富w将简单的成为无风险资产单元的持有数量并将随着n的增加而增加。wi的数量现在代表投入到第i期投资机会的无风险资产的数量，而且对于市场这个整体来说我们必须有（式子）此外，如果随机技术活动是不可避免的，那么有每个0i，从10可以得到和因此随着n趋向于无穷，向量E处理持续的向量使p是一个绝对的数量，这是很强烈的近似。在这第二个解释中，套利条件（7）.一个简单的方法来理解这两种解释的区别是设想无风险资产是银币，风险资产是老虎机。在第一个解释中，老虎机有一个银币在槽里，而p是第i个机器的相关银币价格，在另一个解释里，这些机器还没有被使用，我们把wi的银币放在第i个机器里。这两种感觉是市场是非常大的，而且经验性的来说更相关的这是个有争议的问题，在下一部分，我们将发展一个有效率的假设足以验证一个在这两种情况下都足以验证结果的套利。二、套利理论恒定的绝对风险规避例子发生是有困难的因为相关风险规避系数随着财富的增加而增加。这表明考虑为相关风险规避系数的风险规避代理是一致有界的。我们将这样的代理成为B类型。普拉特曾表明，给定一个B型效用函数U存在一个单调递增的凸函数，那么其中U（）是一个有持续相关风险规避的效用函数，R。它通常被以以下的式子所熟知（U的式子）本质上来说，类型B的代理基本上都是相比较一些持续相关风险规避的代理而言较少的风险规避的代理。假设考虑到的资本的特殊子集的回报被客观的视为这个市场中被这样一个模型形成的的代理（15）其中（式子）而且其中i是相互随机不相关的。我们将不会对这个多元分布的形式强加任何将来的限制条件除了下面这个要求特别是，这个i不需要连带的也独立或者与i独立，它们也不需要控制方差，而且任何一个随机方差都需要是分散的。还有一点是关于符号的也是被需要的。0代表一个有n个元素的在考虑下的代理最优证券组合，依此类推，0使E这个式子最大化，但同时要满足1e。这个向量将是这个向量的列向量组合，像上面提到的那样，i表示它们的行向量。其中单独的字母将表示下面这个矩阵（）假设一有限责任。至少存在一个资产与有限责任在某种意义上存在一些约束，t是每个代理要承受的损失的部分。假设一满足在现实世界中通过各种各样的资产，现在我们可以证明一个关键的针对B类型的代理。原理1.考虑一个生活在一个这样的世界的代理，即满足假设一并且相信回报产生的模型是按照15的模式。（17）（18）证明，结果与特定财富序列相独立，而且我们必须证明它是套利序列。假设R不等于1.我们将通过构造一个这样的组合来证明这个定理，这个这将打败0当18不再持有的时候。首先，从17式可以知道凹度和单调性现在，考虑到解决相关的最小化的无系统风险二次方程套利组合序列服从于这样一个约束条件，即没有系统性风险并且包含一个比m+t更大的回报率（式子）其中V是协方差矩阵，t是最大化的关联到一个有限责任单位投资的资产的责任损失。假设1保证t是有界的。我们还假设，除了损失的通用性，V还是所有n的满秩。如果这个限制无法解决所有的n，而且E又必须线性的依赖于e、列和我们已经做过的。那么假设约束在不考虑损失的通用性时为了使所有的n足够大是可以解决的。使X是满秩.我们将假设如果一个随机变量序列收敛于一个二次均值退化的定律，那么预期效用也会收敛，且推迟严格审查会指向一个附录，由此可见，肯定不会有任何满足下面的子序列如果这样的子列存在，那么而且因为G是凸性的，那么将存在一个n把所有的财富都投资于有限责任的资产并且买套利资产导致如下如果R=1，财富可以分解效用函数的增加并且证明几乎是相同的。我断言对于B型定理的一个个体，如果最优的期望回报是一致有界，那么它就必须如此，套利条件适用于相思与平方和一致有界的情况。这就意味着，除了其它事项外，随着n的增加（21）定理一对于一些简单的推论是适用的。可是如果我们采用另一种解释，如第一节建议的那样，Zi是第i期的回报，如果是有限数量的实际资产，那么财富将局限与一个紧凑的间隔里。很容易看到，如果函数局限于一个紧凑的间隔，效用函数有界，那么我们将持有任何符合定理的风险规避条件，也可以得到一下推论：推论1：在定理1的条件下如果有一个无风险资产，那么p就可能是它的回报率。证明对于给定的无风险资产的单位财富回报是既定的其中是风险资产组合。去掉0e的限制条件我们可以简单的重复定理1的证明，通过把E替代成eE。当然推论1也可以展开成另外一种解释。为了把这些结果变成资本市场理论我们将假设至少有一个B类型的个体不会随着资产n的数量而被忽略，下面的定义是有用的。定义、如果资产的数量增加，那么v可以逐渐被忽略。其中v是机构的财富，是总财富。举个例子，如果资产机构的数量比例序列被赋予是有界并不等于0那么这个机构就不会慢慢变得微不足道。假设2至少存在一个B类型的机构，相信回报是由式子15计算出来的并且不会慢慢的被忽略掉。为允许我们以一个市场的关系聚集，我们将做多于三个的假设；本质上我们必须保证定理一在其它经济领域不会无疾而终。首先我们假设机构持有主观兼容的信仰。假设3（期望的同质性）让代表对于第i种资产作为总财富需求的一小部分。我们将假设只考虑当0时的情况。注意，假设4并不排除这样的可能性：一种资产可以供应过剩；它只意味着整个经济只希望持有它们中的一些。假设3和4可以大大减弱接下来将展示的情况，但是为了展示的目的我们必须以一个更强烈的而不是必须的方式舍弃它们。最后，我们需要对模型15多指定一些内容。假设5（有界期望）序列tE是一致有界的。（22）假设5将放在第三部分讨论。现在我们可以证明我们的核心结果了。定理2通过5给出假设1，（18）还有，如果有一个无风险资产，那么就是它的回报率。证明根据定理1我们可以知道如果结论是错的那么对于B机构有（23）让B机构持有全部的财富用0表示，剩下的经济行为用^表示。如果i^表示按照剩余的经济行为^部分持有资产i的数量，那么根据假设4有根据定义因此根据（23）和假设2，上个式子中的第一个总和是分散的。连同假设5（2）就可以表达为如下因为其中v被v持有的财富的一部分，遵循如下对于一些机构，v，有在一个子列上。根据假设1和3这与最优性矛盾。对和无风险回报的鉴定来源于推论1.定理2对于ix作为活动的i的回报有一个替代理论的简单扩展。在这个扩展中，虽然当然我们能舍弃假设2来并从假设1、3、4、5中单独获得（18）。正如罗斯所示的基本定理2的结果可以写成在许多实证方面有趣和直观上很有吸引力的格式。例如