不定积分教案

高等数学教案第四章不定积分高等数学课程建设组1第四章不定积分教学目的：1、理解原函数概念、不定积分的概念。2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点：1、不定积分的概念；2、不定积分的性质及基本公式；3、换元积分法与分部积分法。教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。§41不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义1如果在区间I上可导函数F(x)的导函数为f(x)即对任一xI都有F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数例如因为(sinx)cosx所以sinx是cosx的原函数又如当x(1)时因为xx21)(所以x是x21的原函数提问:cosx和x21还有其它原函数吗？原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续那么在区间I上存在可导函数F(x)使对任一xI都有F(x)f(x)简单地说就是连续函数一定有原函数两点说明第一如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x)那么f(x)就有无限多个原函数F(x)C都是f(x)的原函数其中C是任意常数第二f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数则(x)F(x)C(C为某个常数)高等数学教案第四章不定积分高等数学课程建设组2定义2在区间I上函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分记作dxxf)(其中记号称为积分号f(x)称为被积函数f(x)dx称为被积表达式x称为积分变量根据定义如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数那么F(x)C就是f(x)的不定积分即CxFdxxf)()(因而不定积分dxxf)(可以表示f(x)的任意一个原函数例1因为sinx是cosx的原函数所以Cxxdxsincos因为x是x21的原函数所以Cxdxx21例2.求函数xxf1)(的不定积分解：当x0时(lnx)x1Cxdxxln1(x0)当x0时[ln(x)]xx1)1(1Cxdxx)ln(1(x0)合并上面两式得到Cxdxx||ln1(x0)例3设曲线通过点(12)且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍求此曲线的方程解设所求的曲线方程为yf(x)按题设曲线上任一点(xy)处的切线斜率为yf(x)2x,,即f(x)是2x的一个原函数因为Cxxdx22高等数学教案第四章不定积分高等数学课程建设组3故必有某个常数C使f(x)x2C即曲线方程为yx2C因所求曲线通过点(12)故21CC1于是所求曲线方程为yx21积分曲线函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线从不定积分的定义即可知下述关系)(])([xfdxxfdxd或dxxfdxxfd)(])([又由于F(x)是F(x)的原函数所以CxFdxxF)()(或记作CxFxdF)()(由此可见微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算以记号表示）是互逆的当记号与d连在一起时或者抵消或者抵消后差一个常数二、基本积分表(1)Ckxkdx(k是常数)(2)Cxdxx111(3)Cxdxx||ln1(4)Cedxexx(5)Caadxaxxln(6)Cxxdxsincos(7)Cxxdxcossin(8)Cxxdxdxxtanseccos122(9)Cxxdxdxxcotcscsin122高等数学教案第四章不定积分高等数学课程建设组4(10)Cxdxxarctan112(11)Cxdxxarcsin112(12)Cxxdxxsectansec(13)Cxdxxcsccotcsc(14)Cxdxxchsh(15)Cxdxxshch例4dxxdxx331CxCx21321131例5dxxdxxx252Cx1251251Cx2772Cxx372例6dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33三、不定积分的性质性质1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和即dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([这是因为,])([])([])()([dxxgdxxfdxxgdxxff(x)g(x).性质2求不定积分时被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来即dxxfkdxxkf)()((k是常数k0)例7.dxxxdxxx)5()5(21252dxxdxx21255dxxdxx21255Cxx232732572例8dxxxxdxxxxxdxxx)133(133)1(222323Cxxxxdxxdxxdxdxx1||ln3321113322高等数学教案第四章不定积分高等数学课程建设组5例9xdxdxedxxexxcos3)cos3(Cxexsin3例10CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2例11dxxxdxxxxxdxxxxx)111()1()1()1(122222Cxxdxxdxx||lnarctan1112例12dxxxxdxxxdxxx222242411)1)(1(1111dxxdxdxxdxxx222211)111(Cxxxarctan313例13dxxdxdxxdxx222sec)1(sectantanxxC例14dxxdxxdxx)cos1(212cos12sin2Cxx)sin(21例15Cxdxxdxxxcot4sin142cos2sin1222高等数学教案第四章不定积分高等数学课程建设组6§42换元积分法一、第一类换元法设f(u)有原函数F(u)u(x)且(x)可微那么根据复合函数微分法有dF[(x)]dF(u)F(u)duF[(x)]d(x)F[(x)](x)dx所以F[(x)](x)dxF[(x)]d(x)F(u)dudF(u)dF[(x)]因此)()]([)()]([xdxFdxxxF)()(udFduuFCxFxdF)]([)]([即)(])([)()]([)()]([xuduufxdxfdxxxf[F(u)C]u(x)F[(x)]C定理1设f(u)具有原函数u(x)可导则有换元公式CxFCuFduufxdxfdxxxf)]([)()()()]([)()]([被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待从而微分等式(x)dxdu可以应用到被积表达式中在求积分dxxg)(时如果函数g(x)可以化为g(x)f[(x)](x)的形式那么dxxg)()(])([)()]([xuduufdxxxf例1.dxxxxdx)2(2cos2cos2)2(2cosxxdCuudusincossin2xC例2.dxxxdxx)23(23121231)23(23121xdxCudxu||ln21121Cx|23|ln21例3.duexdedxxedxxeuxxx)()(222222CeCexu2例4.22222121)(1211dxxdxxxdxxxCuduuxdx2321223121)1(121Cx232)1(31高等数学教案第四章不定积分高等数学课程建设组7例5.xdxdxxxxdxcoscos1cossintanCuduu||ln1ln|cosx|C即Cxxdx|cos|lntan类似地可得Cxxdx|sin|lncot熟练之后变量代换就不必再写出了例6.dxaxadxxa2222)(1111Caxaaxdaxaarctan1)(1112即dxxa221Caxaarctan1例7.Caxaaxdaxadxaxshchch例8.当a0时,dxaxadxxa222)(1111Caxaxdaxarcsin)(112即dxxa221Caxarcsin例9.dxaxaxadxax)11(21122]11[21dxaxdxaxa])(1)(1[21axdaxaxdaxaCaxaxa|]|ln||[ln21Caxaxa||ln21即dxax221Caxaxa||ln21例10.xxdxxdxxdxln21)ln21(21ln21ln)ln21(Cx|ln21|ln21高等数学教案第四章不定积分高等数学课程建设组8例11.xdexdedxxexxx3322333Cex332含三角函数的积分例12.xdxxxdxsinsinsin23xdxcos)cos1(2xxdxdcoscoscos2Cxx3cos31cos例13.xxdxxdxxsincossincossin4252xdxxsin)sin1(sin222xdxxxsin)sinsin2(sin642Cxxx753sin71sin52sin31例14.dxxxdx22cos1cos2)2cos(21xdxdxxxddx22cos4121Cxx2sin4121例15.dxxxdx224)(coscosdxx2)]2cos1(21[dxxx)2cos2cos21(412dxxx)4cos212cos223(41Cxxx)4sin812sin23(41Cxxx4sin3212sin4183例16.dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cosCxx5sin101sin21例17.dxxxdxsin1cscdxxx2cos2sin21高等数学教案第四章不定积分高等数学课程建设组9Cxxxdxxxd|2tan|ln2tan2tan2cos2tan22ln|cscxcotx|C即xdxcscln|cscxcotx|C例18.dxxxdx)2csc(secCxx|)2cot()2csc(|lnln|secxtanx|C即xdxsecln|secxtanx|C二、第二类换元法定理2设x(t)是单调的、可导的函数并且(t)0又设f[(t)](t)具有原函数F(t)则有换元公式CxFtFdtttfdxxf)]([)()()]([)