初中数学因式分解.ppt

第三讲因式分解乘积m(a+b+c)(a+b)(a-b)(a±b)2提取公因式公式法考点一提公因式法因式分解【典例1】(1)(2016·丽水中考)分解因式:am-3a=________.(2)(2016·南京中考)分解因式2a(b+c)-3(b+c)的结果是________.【思路点拨】直接提取公因式即可.【自主解答】(1)am-3a=a(m-3).答案:a(m-3)(2)原式=(b+c)(2a-3).答案:(b+c)(2a-3)【名师点津】确定公因式的方法(1)若各项系数都是整数时,取各项系数的最大公因数作为公因式的系数.(2)取各项相同的字母(或多项式因式)作为公因式的字母(或多项式),相同字母(或多项式)取最低次幂.【题组过关】1.(2015·临沂中考)多项式mx2-m与多项式x2-2x+1的公因式是()A.x-1B.x+1C.x2-1D.(x-1)2【解析】选A.因为mx2-m=m(x2-1)=m(x-1)(x+1),x2-2x+1=(x-1)2,所以公因式为x-1.2.分解因式:ab-a2=________.【解析】ab-a2=a(b-a).答案:a(b-a)考点二运用公式法因式分解【考情分析】运用公式法因式分解的层级为应用,在各地中考试题中均有体现,是因式分解的一个重要考向,一般与提公因式法结合在一起考查,以选择题或填空题的形式呈现.命题角度1:直接考查公式【典例2】(2015·东营中考)因式分解:4+12(x-y)+9(x-y)2=________.【思路点拨】把(x-y)看作一个整体,套用完全平方公式.【自主解答】4+12(x-y)+9(x-y)2=22+12(x-y)+[3(x－y)]2=[2+3(x－y)]2=(2+3x－3y)2.答案:(2+3x－3y)2【母题变式】(改变问法)因式分解:4-9(x-y)2=_____.提示:把9(x-y)2看成[3(x－y)]2使用平方差公式分解为(2+3x-3y)(2-3x+3y).答案:(2+3x-3y)(2-3x+3y)命题角度2:提公因式后应用公式【典例3】(1)(2016·聊城中考)把8a3-8a2+2a进行因式分解,结果正确的是()A.2a(4a2-4a+1)B.8a2(a-1)C.2a(2a-1)2D.2a(2a+1)2(2)(2016·巴中中考)把多项式16m3-mn2分解因式的结果是________.【思路点拨】确定公因式,提取后再根据项数确定所使用的公式继续因式分解.【自主解答】(1)选C.8a3-8a2+2a=2a(4a2-4a+1)=2a(2a-1)2.(2)多项式16m3-mn2=m(16m2-n2)=m(4m+n)(4m-n).答案:m(4m+n)(4m-n)【名师点津】因式分解的三步骤(1)先看各项有无公因式,有公因式的先提取公因式.(2)提公因式后看多项式的项数.①若多项式为两项,则考虑用平方差公式因式分解.②若多项式为三项,则考虑用完全平方公式因式分解.③若多项式有四项或四项以上,就考虑综合运用上面的方法.(3)若上述方法都不能分解,则考虑把多项式重新整理、变形,再按上面步骤进行.【备选例题】(1)(2015·济宁中考)因式分解:12x2-3y2=________.【解析】12x2-3y2=3(4x2-y2)=3(2x+y)(2x-y).答案:3(2x+y)(2x-y)(2)(2015·黔西南州中考)因式分解:4x2+8x+4=________.【解析】4x2+8x+4=4(x2+2x+1)=4(x+1)2.答案:4(x+1)2【题组过关】1.(2015·贵港中考)下列因式分解错误的是()A.2a-2b=2(a-b)B.x2-9=(x+3)(x-3)C.a2+4a-4=(a+2)2D.-x2-x+2=-(x-1)(x+2)【解析】选C.A.2a-2b=2(a-b),正确;B.x2-9=(x+3)(x-3),正确;C.a2+4a-4不能因式分解,错误;D.-x2-x+2=-(x-1)(x+2),正确.2.(2016·达州中考)分解因式:a3-4a=________.【解析】a3-4a=a(a2-4)=a(a+2)(a-2).答案:a(a+2)(a-2)【变式训练】(2015·孝感中考)因式分解:(a-b)2-4b2=________.【解析】(a-b)2-4b2=(a-b+2b)(a-b-2b)=(a+b)(a-3b).答案:(a+b)(a-3b)【方法技巧】1.公式中的a,b既可以是单独的一个字母,也可以是单项式或多项式.2.只有多项式符合完全平方公式或平方差公式的特点时,才能用相应的公式因式分解.3.(2016·毕节中考)分解因式3m4-48=________.【解析】3m4-48=3(m4-42)=3(m2+4)(m2-4)=3(m2+4)(m+2)(m-2).答案:3(m2+4)(m+2)(m-2)4.(2016·东营中考)分解因式:a3-16a=________.【解析】a3-16a=a(a2-42)=a(a+4)(a-4).答案:a(a+4)(a-4)5.(2016·威海中考)分解因式:(2a+b)2-(a+2b)2=________.【解析】原式=(2a+b+a+2b)(2a+b-a-2b)=3(a+b)(a-b).答案:3(a+b)(a-b)考点三因式分解的应用【典例4】(1)(2015·枣庄中考)如图,边长为a,b的矩形的周长为14,面积为10,则a2b+ab2的值为()A.140B.70C.35D.24(2)(2015·黔西南州中考)已知x=,则x2+x+1=________.512【思路点拨】(1)提公因式后整体代入求值.(2)计算出x+1后,局部提公因式,应用公式计算.【自主解答】(1)选B.根据题意,得a+b=7,ab=10.a2b+ab2=ab(a+b)=10×7=70.(2)x2+x+1=x(x+1)+1==1+1=2.答案:25151122【名师点津】因式分解在求代数式值中的应用(1)因式分解是研究代数式的基础,通过因式分解将多项式合理变形,是求代数式值的常用解题方法,具体做法是:根据题目的特点,先通过因式分解将式子变形,然后再进行整体代入.(2)用因式分解的方法将式子变形时,根据已知条件,变形的可以是整个代数式,也可以是其中的一部分.【题组过关】1.(2016·宜昌中考)小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,a2-b2分别对应下列六个字:昌、爱、我、宜、游、美.现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是()A.我爱美B.宜昌游C.爱我宜昌D.美我宜昌【解析】选C.(x2-y2)a2-(x2-y2)b2=(x2-y2)(a2-b2)=(x-y)(x+y)(a+b)(a-b).2.(2016·福州中考)若x+y=10,xy=1,则x3y+xy3的值是________.【解析】x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2xy]=1×(102-2×1)=98.答案:983.(2015·甘南州中考)已知a2-a-1=0,则a3-a2-a+2015=________.【解析】∵a2-a-1=0,∴a2-a=1,∴a3-a2-a+2015=a(a2-a)-a+2015=a-a+2015=2015.答案:20154.(2016·大庆中考)已知a+b=3,ab=2,求代数式a3b+2a2b2+ab3的值.【解析】a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2,将a+b=3,ab=2代入得,ab(a+b)2=2×32=18.故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18.