运筹学课件：第1章-线性规划与单纯形法-第6节

第6节应用举例一般讲，一个经济、管理问题凡满足以下条件时，才能建立线性规划的模型。•(1)要求解问题的目标函数能用数值指标来表示，且Z=f(x)为线性函数；•(2)存在着多种方案；•(3)要求达到的目标是在可以量化的，并要有足够数据的一定约束条件下实现的；这些约束条件可用线性等式或不等式来描述。•下面举例说明线性规划在经济管理等方面的应用。例10合理利用线材问题。现要做100套钢架，每套需用长为2.9m，2.1m和1.5m的元钢各一根。已知原料长7.4m，问应如何下料，使用的原材料最省。•解最简单做法是，在每一根原材料上截取2.9m，2.1m和1.5m的元钢各一根组成一套，每根原材料剩下料头0.9m（7.4-2.9-2.1-1.5=0.9)。为了做100套钢架，需用原材料100根，共有90m料头。若改为用套裁，这可以节约原材料。•下面有几种套裁方案，都可以考虑采用。•见表1-11。表1-11套裁方案下料根数长度(m)方案ⅠⅡⅢⅣⅤ2.92.11.51321221213合计料头7.407.30.17.20.27.10.36.60.8为了得到100套钢架，需要混合使用各种下料方案。设按Ⅰ方案下料的原材料根数为x1,Ⅱ方案为x2，Ⅲ方案为x3，Ⅳ方案为x4,Ⅴ方案为x5。根据表1-11的方案，可列出以下数学模型：0,,,,1003231002210028.03.02.01.00min54321532154342154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxz在以上约束条件中加入人工变量x6,x7,x8；然后用表1-12进行计算。cj→00.10.20.30.8-M-M-MθiCBXBbx1x2x3x4x5x6x7x8-M-M-Mx6x7x810010010010[3]201022120010100010001100/1－100/1cj-zj4M-0.1+3M-0.2+4M-0.3+3M-0.8+4M000第1次计算cj→00.10.20.30.8-M-M-MθiCBXBbx1x2x3x4x5x6x7x8-M-M1x6x7x1200/3100100/30015/301/3-2/322/31[2]0-111100010-1/301/3200/3100/2－cj-zj0-0.1+5/3M-0.2+4/3M-0.3+3M-0.800-4/3Mcj→00.10.20.30.8-M-M-MθiCBXBbx1x2x3x4x5x6x7x8-M-0.30x6x4x150/350100/3001[5/3]11/3-5/312/3010-3/21/21100-1/21/20-5-21150/15－100/1cj-zj0-0.1+5/3M0.1-5/3M0-0.65-3/2M00.15-3/2M-4/3M第2次计算例1-11的最终计算表（第3次计算）cj→00.10.20.30.8-M-M-MθiCBXBbx1x2x3x4x5x6x7x80.1-0.30x2x4x1105030001100-111010-9/101/313/103/50-1/5-3/101/31/10-1/502/5cj-zj0000-0.74-M+0.06-M+0.12-M-0.02有非基变量的检验数为零，所以存在多重最优解。由计算得到最优下料方案是：•按Ⅰ方案下料30根；•Ⅱ方案下料10根；•Ⅳ方案下料50根。•即需90根原材料可以制造100套钢架。例11配料问题•某工厂要用三种原材料C、P、H混合调配出三种不同规格的产品A、B、D。已知产品的规格要求，产品单价，每天能供应的原材料数量及原材料单价，分别见表1-13和表1-14。该厂应如何安排生产，使利润收入为最大?解如以AC表示产品A中C的成分，AP表示产品A中P的成分，依次类推。见表1-13有：产品名称规格要求单价（元/kg）A原材料C不少于50%原材料P不超过25%50B原材料C不少于25%原材料P不超过50%35D不限25根据表1-13有：)391(21,41,41,21BBBBAAAAPCPC这里AC+AP+AH=A；BC+BP+BH=B(1-40)•将(1-40)逐个代入(1-39)并整理得到0214121041414304143410212121HPCHPCHPCHPCBBBBBBAAAAAA表1-14原材料供应数量的限额•表1-14表明这些原材料供应数量的限额。加入到产品A、B、D的原材料C总量每天不超过100kg，P的总量不超过100kg，H总量不超过60kg。由此原材料名称每天最多供应量（kg）单价/(元/kg)C10065P10025H6035约束条件：•AC+BC+DC≤100•AP+BP+DP≤100•AH+BH+DH≤60•在约束条件中共有9个变量，为计算和叙述方便，分别用x1,…,x9表示。令•x1=Ac,x2=Ap,x3=AH,•x4=BC,x5=BP,x6=BH,•x7=DC,x8=DP,x9=DH.约束条件可表示为：0,,60100100021212104141430414341021212191963852741654654321321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx目标函数•目的是使利润最大，即产品价格减去原材料的价格为最大。•产品价格为：50(x1+x2+x3)——产品A35(x4+x5+x6)——产品B25(x7+x8+x9)——产品D•原材料价格为：65(x1+x4+x7)——原材料C25(x2+x5+x8)——原材料P35(x3+x6+x9)——原材料H•为了得到初始解，在约束条件中加入松弛变量x10～x16，得到数学模型：例11的线性规划模型0,,,,,601001000212121041414304143410212121010401030152515max18109116963158521474113654126541132110321161514131211109754321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxz约束条件目标函数最优解：•这数学模型，可用单纯形法计算，经过四次迭代，获得最优解为：x1=100,x2=50,x3=50；这表示需要用原料C为100kg；P为50kg;H为50kg，构成产品A。•即每天只生产产品A为200kg，分别需要用原料C为100kg；P为50kg；H为50kg。•从最终计算表中得到，总利润是z=500元/天。例12生产与库存的优化安排•某工厂生产五种产品(i=1,…,5)，上半年各月对每种产品的最大市场需求量为dij(i=1,…,5;j=1,…,6)。已知每件产品的单件售价为Si元，生产每件产品所需要工时为ai，单件成本为Ci元；该工厂上半年各月正常生产工时为rj(j=1,…,6)，各月内允许的最大加班工时为rj′;Ci′为加班单件成本。又每月生产的各种产品如当月销售不完，可以库存。库存费用为Hi(元/件·月)。假设1月初所有产品的库存为零，要求6月底各产品库存量分别为ki件。现要求为该工厂制定一个生产计划，在尽可能利用生产能力的条件下，获取最大利润。•解设xij,xij′分别为该工厂第i种产品的第j个月在正常时间和加班时间内的生产量；yij为i种产品在第j月的销售量，ωij为第i种产品第j月末的库存量。•根据题意，可用以下模型描述线性规划模型•(1)各种产品每月的生产量不能超过允许的生产能力，表示为：51''516,,1,6,,1,ijiiijiijrxajrxa(2)各种产品每月销售量不超过市场最大需求量yij≤dij(i=1,…,5;j=1,…,6)(3)每月末库存量等于上月末库存量加上该月产量减掉当月的销售量iiiijijijjiijkjiyxx60'1,,06,,1;5,,1其中(4)满足各变量的非负约束•xij≥0,xij′≥0,yij≥0,(i=1,…,5；j=1,…,6)•ωij≥0(i=1,…,5；j=1,…,5)(5)该工厂上半年总盈利最大可表示为：•目标函数51615161''][maxijijijiijiijiijiHxCxCySz例13连续投资问题某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知：•项目A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%；•项目B，第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125%，但规定最大投资额不超过4万元；•项目C，第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定最大投资额不超过3万元；•项目D，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%。•该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额为最大?解：(1)确定决策变量•这是一个连续投资问题，与时间有关。但这里设法用线性规划方法，静态地处理。以xiA,xiB,xiC,xiD(i=1,2,…，5)•分别表示第i年年初给项目A，B，C，D的投资额，它们都是待定的未知变量。根据给定的条件，将变量列于表1-15中。表1-15项目第一年第二年第三年第四年第五年Ax1Ax2Ax3Ax4A/B//x3B//C/x2C///Dx1Dx2Dx3Dx4Dx5D(2)投资额应等于手中拥有的资金额•由于项目D每年都可以投资，并且当年末即能回收本息。所以该部门每年应把资金全部投出去，手中不应当有剩余的呆滞资金。因此•第一年：•该部门年初拥有100000元，所以有x1A+x1D=100000•第二年：•因第一年给项目A的投资要到第二年末才能回收。所以该部门在第二年初拥有资金额仅为项目D在第一年回收的本息x1D(1+6%)。于是第二年的投资分配是•x2A+x2C+x2D=1.06x1D第三年：第三年初的资金额是从项目A第一年投资及项目D第二年投资中回收的本利总和：x1A(1+15%)及x2D(1+6%)。于是第三年的资金分配为x3A+x3B+x3D=1.15x1A+1.06x2D第四年：与以上分析相同，可得x4A+x4D=1.15x2A+1.06x3D第五年：x5D=1.15x3A+1.06x4D•此外，由于对项目B、C的投资有限额的规定，即：•x3B≤40000•x2C≤30000(3)目标函数•问题是要求在第五年末该部门手中拥有的资金额达到最大，与五年末资金有关的变量是：x4A,x3B,x2C,x5D；因此这个目标函数可表示为•maxz=1.15x4A+1.40x2C+1.25x3B+1.06x5D(4)数学模型•经过以上分析，这个与时间有关的投资问题可以用以下线性规划模型来描述：5,,2,1,0,,,3000040000006.115.1006.115.1006.115.1006.110000006.14.125.115.1max234353244213331222115224ixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxziDiCiBiACBDADDADADADBADDCADADCBA约束条件：目标函数：(5)用两阶段单纯形法计算结果得到•第一年：x1A=34783元，x1D=65217元•第二年：x2A=39130元，x2C=30000元，x2D=0•第三年：x3A=0，x3B=40000元，x3D=0•第四年：x4A=45000元，x4D=0•第五年：x5D=0•到第五年末该部门拥有资金总额为143,750元，即盈利43.75%。另一个的投资方案：•第一年：x1A=71698元，x1D=28300元•第二年：x2A=0