第九讲---培优竞赛-垂直平分线与角平分线辅导题

第一页共六页第九讲全等三角形培优竞赛———线段的垂直平分线与角平分线一、线段垂直平分线1、线段垂直平分线的性质（1）线段的对称轴是（2）垂直平分线性质定理：定理的几何符号表示：如图12、线段垂直平分线判定定理：定理的几何符号表示：如图1，定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的性质（1）三角形三边的垂直平分线，并且这一点到的距离相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形.经典例题：例1如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm针对性练习：已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=2)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是例2.已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC求证：点O在BC的垂直平分线m图1DABCBCBOANBCDEA第二页共六页针对性练习：已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO垂直平分BC.例3.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的顶角∠B的大小为_______________。针对性练习：在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的大小为____。例4、如图8，已知AD是△ABC的BC边上的高，且∠C＝2∠B，求证：BD＝AC＋CD.针对性练习：1.如图，AC=AD，BC=BD，则（）A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACBD.以上结论均不对2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么这个三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3.下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个4.△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm5、如图7，在△ABC中，AC＝23，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACE的周长为50，求BC边的长.B图8BCDA图7EDACBB第三页共六页APBFEC6、求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.二、角的平分线1.角平分线的性质定理：角是一个轴对称图形，它的对称轴是.角平分线的性质定理：角平分线上的点到的距离相等.定理几何符号表示：如图4，定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；2、角平分线的判定定理：角平分线的判定定理：在角的内部，且的点在这个角的角平分线上.定理的几何符号表示:如图5定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线3、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线，并且这一点到的距离相等.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的.4、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.经典例题：例1已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。求证：PE=PF图4CDOABFE图5CDOABP第四页共六页针对性练习：**已知,BD平分∠ABC,AB⊥AD于A,BC=2AB,求证BD=DC。例2、如图10，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD.针对性练习：1、**已知：AP、CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分线，它们交于PD，作⊥BM于D，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线。B图10FCDBAEBBACPNM第五页共六页2、△ABC的外角∠ACD与内角∠ABC平分线CP，BP交于点P,若∠BPC=40度,则∠CAP=度【实战模拟】培优竞赛训练一、选择题：1.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A、△ABC的三条中线的交点B、△ABC三边的中垂线的交点C、△ABC三条角平分线的交点D、△ABC三条高所在直线的交点2.在RtABC中，90C，AD平分BAC，交BC于点D，若32BC，且:9:7BDCD，则点D到AB的距离为（）A.18B.16C.14D.123、如图，直线123,,lll表示三条互相交叉的公路，现要修建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有（）A.一处B.两处C.三处D.四处ABOECD4、如图，ABC中，90C，点O为ABC的三条角平分线的交点，ODBC，OEAC，OFAB，点,,DEF分别是垂足，且10ABcm，8BCcm，6CAcm，则点O到三边,,ABACBC的距离分别等于（）cmA.2、2、2B.3、3、3C.4、4、4D.2、3、55、如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）A、两人都正确B、两人都错误C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确二、填空题1.△ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，△EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为_________。2.如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于______________。三、解答题1.已知：如图，∠B=∠C=900，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB。求证：MB=MCEMCBDA第六页共六页2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.3、如图，已知在四边形ABCD中，180BD，AC平分BAD，CEAD，E为垂足。求证：2ABADAE。4、（竞赛）如图,AD平分∠BDC,BD平分∠FBC,CD⊥BE于O,求证：BC=ECEDGFCBA