必修四培优讲义-教师版

第一章三角函数1．任意角：.成的角零角：不作任何旋转形转形成的角；负角：按顺时针方向旋转形成的角；正角：按逆时针方向旋任意角2．角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为36036090,kkk；第二象限角的集合为36090360180,kkk；第三象限角的集合为360180360270,kkk；第四象限角的集合为360270360360,kkk；终边在x轴上的角的集合为180,kk；终边在y轴上的角的集合为18090,kk；终边在坐标轴上的角的集合为90,kk.3.由角所在象限判断n所在象限：2Ⅰ2Ⅰ、ⅢⅡ2Ⅰ、ⅢⅢ2Ⅱ、ⅣⅣ2Ⅱ、Ⅳ4．与角终边相同的角的集合为360,kk5．长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6．半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是lr．7．弧度制与角度制的换算公式：180，2360，1180，180157.3．8．若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则(1)弧长公式：lr=180rn(n为圆心角的角度数)；(2)扇形的周长：2Crl；PvxyAOMT(3)扇形的面积公式：21122Slrr．9.特殊角的三角函数值：度030456090120135150180270360弧度06432324365232sin0212223123220-10cos123220212223-101tan03313不存在3-1330不存在010.设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是,xy，它与原点的距离是220rrxy，则sinyr，cosxr，tan0yxxyxcot；xrsec；yrcsc.11.三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.12．三角函数线：sin，cos，tan．正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT.13.三角函数间的基本关系：(1)平方关系：1cossin221tansec221cotcsc22(2)商数关系：tancossincotsincos(3)乘积关系:1cottan1sincsc1cossec2121正切、余切余弦、正割-----+++++-+正弦、余割oooxyxyxyroxya的终边P（x,y)(3)若ox2,则sinxxtanx(2)(1)|sinx||cosx||cosx||sinx||cosx||sinx||sinx||cosx|sinxcosxcosxsinx16.几个重要结论:OOxyxy14.三角函数的诱导公式：公式一~公式八：记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．1、公式一~公式四：记忆口诀：函数名称不变，符号看象限．诱导公式一：sin)2(sink，cos2cosk，tan2tankk诱导公式二：sin)(sin，coscos，tantan．诱导公式三：sin)(sin，coscos，tantan．诱导公式四：sin)(sin，coscos，tantan．2、公式五~公式八：记忆口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．诱导公式五：cos)2sin(，cossin2．诱导公式六：cos)2sin(，cossin2．诱导公式七：cos)23sin(，sin)23cos(.诱导公式八：cos)23sin(，sin)-23cos(.15．(1)的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数sinyx的图象．(2)函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数sinyx的图象．16．函数sin0,0yx的性质：①振幅：；②周期：||2T；③频率：12f；④相位：x；⑤初相：．函数sinyx，当1xx时，取得最小值为miny；当2xx时，取得最大值为maxy，则maxmin12yy，maxmin12yy，21122xxxx．17．正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2xxkk值域1,11,1R最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y．当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y．既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kkk上是增函数；在32,222kkk上是减函数．在2,2kkk上是增函数；在2,2kkk上是减函数．在,22kkk上是增函数．对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴函数性质第二章平面向量18．向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．19．向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连，首尾连．⑵平行四边形法则的特点：作平移，共起点，连对角．⑶三角形不等式：ababab．⑷运算性质：①交换律：abba；②结合律：abcabc；③00aaa．⑸坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy．20．向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy．设、两点的坐标分别为11,xy，22,xy，则),(1212yyxxAB．21．向量数乘运算：⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．①aa；②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时0a．⑵运算律：①aa；②aaa；③abab．⑶坐标运算：设,axy，则,,axyxy．22．向量共线定理：向量0aa与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．设11,axy，22,bxy，其中0b，则当且仅当12210xyxy时，向量a、0bb共线23.平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1122aee．（不共线的向量1e、2e作为这一平面内所有向量的一组基底）24.(1)定比分点坐标公式：设点),(yx是线段12上的一点，1、2的坐标分别是11,xy，22,xy，当12时，点的坐标是1212,11xxyy．（当1时，就是中点坐标公式）(2)中点坐标公式：222121yyyxxx，即点的坐标为)2,2(2121yyxx.25.重心坐标公式设332211,,,,,yxCyxByxA，则△ABC的重心坐标)3,3(321321yyyxxx.26.平面向量的数量积：⑴cos0,0,0180ababab．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a和b都是非零向量，则①0abab．②当a与b同向时，abab；当a与b反向时，abab；22aaaa或aaa．③abab．⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc．⑷坐标运算：设两个非零向量11,axy，22,bxy，则1212abxxyy．若,axy，则222axy，或22axy．设11,axy，22,bxy，则12120abxxyy．设a、b都是非零向量，，，是a与b的夹角，则121222221122cosxxyyababxyxy11,axy22,bxy第三章三角恒等变换27.两角和或差的公式：(1)coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；(2)sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；(3)tantantan1tantan（tantantan1tantan）；(4)tantantan1tantan（tantantan1tantan）．（5）cot(A+B)=cotAcotB1-cotAcotBcot(A-B)=cotAcotB1cotAcotB28.两角的和差化积和积化和差公式（1）和差化积公式：（2）积化和差公式：29.二倍角公式：⑴sin22sincos222)cos(sincossin2cossin2sin1⑵2222cos2cossin2cos112sin⑶22tantan21tan．升幂公式:2sin2cos1,2cos2cos122降幂公式:2cos21cos2，21cos2sin2（4）三倍角公式1.sin3A=3sinA-4(sinA)32.cos3A=4(cosA)3-3cosAsinsin2sin()cos()2222sinsin2cos()sin()2222coscos2cos()cos()2222coscos2sin()sin()22221sinsin[cos()cos()]21coscos[cos()cos()]21si