无锡市锡山区天一中学2019-2020学年上学期高二数学期中试卷附答案解析

1无锡市锡山区天一中学2019-2020学年上学期期中高二数学试卷一、单选题1．命题“x=π”是“sinx=0”的（）条件．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．下列双曲线中，渐近线方程为2yx的是（）A．2214yxB．2214xyC．2212yxD．2212xy3．以坐标原点为顶点，且（3，0）为焦点的抛物线方程是（）A．212yyB．212yxC．26yxD．26yx4．下列命题中是假命题的是（）A．xR,0xlgeB．xR,tanxxC．0,2x,1sinxD．xR,1xex5．设椭圆22221xymn（m＞n＞0）的右准线为x=8，椭圆的离心率为12，则椭圆的方程为（）A．2211216xyB．2211612xyC．2214864xyD．2216448xy6．下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有0ABBCCDDA；②abab是a、b共线的充要条件；③对空间任意一点P与不共线的三点A、B、C，若OPxOAyOBzOC，（ x，y，z∈R），则P、A、B、C四点共面．其中不正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．37．已知a（2，-1，3），b（1，4，-2），c（1，3，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ等于（）A．1B．2C．3D．48．O为坐标原点，F为抛物线2:42Cyx的焦点，P为C上一点，若42PF，则POF的面积为()A．2B．22C．23D．429．设双曲线22221xyab（0a，0b）的渐近线与抛物线21yx相切，则该双曲线的离心率等于（）A．3B．2C．6D．510．设12FF、是双曲线2244(0)xyaa的两个焦点，点Ｐ在双曲线上，且满足1212·0,·2,PFPFPFPF则a的值为（）A．2B．52C．1D．511．直线l的方程为y=x+3，P为l上任意一点，过点P且以双曲线12x2-4y2=3的焦点为焦点作椭圆，那么该椭圆的最短长轴长为（）A．2B．25C．4D．4512．已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线与椭圆交于A,B两点，若ΔF1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A．22B．2−3C．5−2D．6−3二、填空题13．若双曲线221yxm的离心率为3，则实数m__________．14．已知集合A={x|2-a≤x≤2+a}，B={x|4x2+12x-7≤0}，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则实数a的取值范围是______．15．已知椭圆222210xyabab的左、右焦点分别为12,FF，离心率为e．若椭圆上存在点P，使得12PFePF，则该椭圆离心率e的取值范围是________．16．已知F是抛物线2yx的焦点，点A、B在抛物线上且位于x轴的两侧，若2OAOB（其中O为坐标原点），则ABO与AFO面积之和的最小值是______三、解答题17．已知命题p：∃x∈（-2，1），使等式x2-x-m=0成立，命题q：22124xymm表示椭圆．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围．（2）判断命题p为真命题是命题q为真命题的什么条件（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）318．已知双曲线C1的渐近线是3x±2y=0，焦点坐标是F1（-7，0）、F2（7，0）．（1）求双曲线C1的方程；（2）若椭圆C2与双曲线C1有公共的焦点，且它们的离心率之和为576，点P在椭圆C2上，且|PF1|=4，求∠F1PF2的大小．19．三棱柱ABC-A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB=2，AC=4，AA1=3．D是BC的中点．（1）求直线A1D与B1C1所成角的余弦值；（2）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值．20．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，过A，B作准线的垂线交准线与P，Q两点．R是PQ的中点．（1）证明：以PQ为直径的圆恒过定点F．（2）证明：AR∥FQ．21．如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．4（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D1－AC－B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点．若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为13，求线段A1E的长．22．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：222210xyabab＞＞的离心率是32，抛物线E：22xy的焦点F是C的一个顶点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上;（ii）直线l与y轴交于点G，记PFG△的面积为1S，PDM△的面积为2S，求12SS的最大值及取得最大值时点P的坐标．5解析无锡市锡山区天一中学2019-2020学年上学期期中高二数学试卷一、单选题1．命题“x=π”是“sinx=0”的（）条件．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由x=π，得sinx=0；反之，由sinx=0，不一定有x=π，然后结合充分必要条件的判定得答案．【详解】解：由x=π，得sinx=0；反之，由sinx=0，得x=kπ，k∈Z．∴“x=π”是“sinx=0”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查充分必要条件的判定，是基础题．2．下列双曲线中，渐近线方程为2yx的是（）A．2214yxB．2214xyC．2212yxD．2212xy【答案】A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A.【考点】本题主要考查双曲线的渐近线公式.3．以坐标原点为顶点，且（3，0）为焦点的抛物线方程是（）A．212yyB．212yxC．26yxD．26yx【答案】B【解析】根据题意，由抛物线焦点的坐标分析可得抛物线的开口方向，可求出p的值，即可得答案．【详解】解：根据题意，要求抛物线的焦点为（3，0），则抛物线的开口向左；设抛物线的标准方程为：22ypx，则2p=3，即p=6；故抛物线的标准方程为y2=12x；故选：B．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，涉及抛物线焦点坐标，属于基础题．4．下列命题中是假命题的是（）A．xR,0xlgeB．xR,tanxx6C．0,2x,1sinxD．xR,1xex【答案】D【解析】通过特殊值判断A、B的正误；正弦函数的最值判断C的正误；利用反例判断D是假命题．【详解】解：当x=0时，lgex=0，所以A是真命题；x=0时，tanx=x，所以B是真命题；因为sinx≤1，当x=2时，sinx=1，所以02x，，sinx＜1，C是真命题；x=0时，ex=x+1，所以∀x∈R，ex＞x+1不正确，所以D是假命题；故选：D．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．5．设椭圆22221xymn（m＞n＞0）的右准线为x=8，椭圆的离心率为12，则椭圆的方程为（）A．2211216xyB．2211612xyC．2214864xyD．2216448xy【答案】B【解析】确定椭圆的焦点在x轴，利用已知条件求出a，b，即可得到椭圆方程．【详解】解：直接设椭圆的标准方程为22221xyab（0ab），又其右准线为x=8，椭圆的离心率为12，可得2812acca，解得a=4，c=2，则b=164=23．所以椭圆方程：2211612xy．故选：B．【点睛】本题主要考查椭圆的基本性质．椭圆方程的求法，圆锥曲线是高考的必考内容，其基本性质一定要熟练掌握．6．下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有0ABBCCDDA；7②abab是a、b共线的充要条件；③对空间任意一点P与不共线的三点A、B、C，若OPxOAyOBzOC，（ x，y，z∈R），则P、A、B、C四点共面．其中不正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】①由向量的运算法则，可判断真假；②两边平方，利用向量的平方等于向量模的平方，判断真假；③利用空间向量的基本定理判断真假；【详解】解：①根据向量的运算法则知，等号的左边为0，而右边为0，故①不正确；②abab⇔|a|2-2|a||b|+|b|2=|a|2+2a•b+|b|2⇔cosθ=-1，即a与b反向，∴abab是a、b共线的充分不必要条件，故②不正确；③由空间向量基本定理知，空间任意一个向量OP可以用不共面的三个向量OA、OB、OC线性表示，所以P、A、B、C四点一定不共面，故③不正确；故选：D．【点睛】考查向量的运算法则，空间向量的基本定理，命题真假的判断；7．已知a（2，-1，3），b（1，4，-2），c（1，3，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ等于（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由向量a、b、c共面得出c=xa+yb，列方程组可求得λ的值．【详解】解：向量a、b、c共面，则c=xa+yb，其中x，y∈R；则（1，3，λ）=（2x，-x，3x）+（-y，4y，-2y）=（2x-y，-x+4y，3x-2y），∴214332xyxyxy，解得x=1，y=1，λ=1．故选：A．【点睛】本题考查了空间向量的坐标表示与共面定理的应用问题，是基础题．8．O为坐标原点，F为抛物线2:42Cyx的焦点，P为C上一点，若42PF，则POF的面积为()8A．2B．22C．23D．4【答案】C【解析】【详解】设P(xP,yP)(yP0)由抛物线定义知,xP+2=42,∴xP=32,yP=4232=26,因此S△POF=12×26×2=23.故选C.9．设双曲线22221xyab（0a，0b）的渐近线与抛物线21yx相切，则该双曲线的离心率等于（）A．3B．2C．6D．5【答案】D【解析】由题意可知双曲线的渐近线一条方程为byxa，与抛物线方程组成方程组2,1byxayx消y得，2210,()40bbxxaa，即2()4ba，所以21()5bea，选D.【点睛】双曲线22221xyab（0a，0b）的渐近线方程为byxa。直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点。当直线与抛物线对称轴不平行时，当时，直线与抛物线相交，有两个交点。当0时，直线与抛物线相切，只有一个交点。当时，直线与抛物线相离，没有交点。10．设12FF、是双曲线2244(0)xyaa的两个焦点，点Ｐ在双曲线上，且满足1212·0,·2,PFPFPFPF则a的值为（）A．2B．52C．1D．5【答案】C【解析】试题分析：由题意可得12FPF为直角，12FPF为直角三角形，9又双曲线的方程可化为2214xyaa，故22212420PFPFca，变形可得21212220