20202021学年高中数学第2章解析几何初步2圆与圆的方程21圆的标准方程教师用书教案北师大版必修

-1-§2圆与圆的方程2．1圆的标准方程学习目标核心素养1.掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程．(重点)2.能根据圆的标准方程求它的圆心和半径．(重点)3.掌握圆的标准方程在求最值和实际问题中的应用．(难点)1.通过学习圆的标准方程，培养数学抽象素养.2.通过求圆的标准方程及标准方程的应用培养数学运算素养.1．圆的标准方程圆的图示圆的几何特征圆上任一点到圆心的距离等于定长圆的标准方程圆心为(a，b)，半径是r的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.特别地，当圆心在坐标原点时，有a＝b＝0，那么圆的方程为x2＋y2＝r2思考：确定圆的关键是什么？提示：确定圆的关键点有两个，即位置(圆心)与大小(半径)．2．点与圆的位置关系(1)中点坐标公式：A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为x1＋x22，y1＋y22.(2)点与圆的位置关系：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则点P在圆O外⇔dr；点P在圆O上⇔d＝r；点P在圆O内⇔dr.1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()A．(－2,3)，1B．(2，－3)，3C．(－2,3),2D．(2，－3),2D[由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为2.]2．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9-2-B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9D[由圆的标准方程可得，所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.]3．点(1,1)在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝r2上，则圆的半径r＝______.2[由于点(1,1)在圆上，所以(1－1)2＋(1＋1)2＝r2，即r＝2.]4．圆心是点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是________．[答案](x－3)2＋(y－4)2＝25直接法求圆的标准方程【例1】求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)．[解](1)由两点间距离公式得r＝6－22＋3＋22＝41，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．又|AB|＝－4－62＋－5＋12＝229，∴半径r＝29，∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，半径r＝2－02＋－3＋22＝5，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.直接法求圆的标准方程，就是根据题设条件，直接求圆心坐标和圆的半径这两个几何要素，然后将其代入标准方程.[跟进训练]1．(1)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．(2)以圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9的圆心为圆心，且过原点的圆的标准方程为____________．(1)x2＋(y－1)2＝1(2)(x＋1)2＋(y－3)2＝10[(1)因为圆C的圆心与点(1,0)关于直线y＝x-3-对称，即圆心坐标为(0,1)，而圆的半径不变，故所求圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.(2)法一：由题意可知，圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9的圆心坐标为(－1,3)，所以所求圆的半径r＝－12＋32＝10，即所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝10.法二：由题意可设所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝r2.又该圆过点(0,0)．故(0＋1)2＋(0－3)2＝r2，即r2＝10，所以所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝10.]点与圆的位置关系【例2】判断点P(2,0)与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝3的位置关系.[思路探究]解答本题可以利用点P(2,0)到圆心的距离与半径比较大小，也可直接代入(x－2)2＋(y＋1)2与3比较大小．[解]法一：∵P(2,0)与圆心(2，－1)的距离d＝2－22＋[0－－1]2＝1，圆的半径r＝3，∴d＜r，∴点P在圆的内部．法二：∵点P(2,0)满足(2－2)2＋(0＋1)2＝1＜3，∴点P在圆的内部．判断点Px0，y0与圆x－a2＋y－b2＝r2的位置关系有几何法与代数法两种.对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小；对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程.,具体判断方法如下：①当x0－a2＋y0－b2＜r2时，点在圆内；②当x0－a2＋y0－b2＝r2时，点在圆上；③当x0－a2＋y0－b2＞r2时，点在圆外.[跟进训练]2．(1)点M(a，a＋1)与圆C：(x－1)2＋y2＝1的关系是()A．M在C外B．M在C上C．M在C内D．不确定与a的取值有关(2)若点P(－2,4)在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝m的外部，则实数m的取值范围为________．(1)A(2)(0,5)[(1)因为圆心C(1,0)，|MC|＝a－12＋a＋12＝2a2＋2≥2＞1，故选A.(2)由于点P(－2,4)在圆的外部，所以有(－2＋1)2＋(4－2)2＞m，解得m＜5.又方程表示圆，-4-所以有m＞0.因此实数m的取值范围是0＜m＜5.]用待定系数法求圆的标准方程[探究问题]1．已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1)，你能求出圆心所在的直线方程吗？提示：PQ的方程为x＋y－1＝0，PQ中点M12，12，kPQ＝－1，所以圆心所在的直线方程为y＝x.2．上述问题中，若圆C的半径为1，请求出圆C的方程．提示：由条件设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝1.由圆过P，Q点得1－a2＋b2＝1，a2＋1－b2＝1，解得a＝0，b＝0或a＝1，b＝1，所以圆C方程为：x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.【例3】已知圆过两点A(3,1)，B(－1,3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，求此圆的方程．[思路探究]解答本题可以由所给条件确定圆心和半径，再写出方程，也可以设出方程用待定系数法求解．[解]法一：直线AB的斜率为k＝3－1－1－3＝－12，可知AB垂直平分线m的斜率为2.AB中点的横坐标和纵坐标分别为x＝3－12＝1，y＝1＋32＝2，因此m的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.又圆心在直线3x－y－2＝0上，所以圆心在这两条直线的交点上，联立方程组2x－y＝0，3x－y－2＝0，x＝2，y＝4，所以圆心坐标为C(2,4)．又半径r＝|CA|＝10，则所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，依题意，-5-3－a2＋1－b2＝r2，－1－a2＋3－b2＝r2，3a－b－2＝0，即a2＋b2－6a－2b＝r2－10，a2＋b2＋2a－6b＝r2－10，3a－b－2＝0，解得a＝2，b＝4，r＝10，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.1．本例中若把直线方程改为x－y＝0，其它条件不变，试求圆的标准方程．[解]因为所求圆圆心在直线x－y＝0上，故设圆心坐标为(a，a)，则圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝r2.又∵圆过点A(3,1)，B(－1,3)．∴3－a2＋1－a2＝r2，－1－a2＋3－a2＝r2，解得a＝0，r＝10，∴所求圆的方程为x2＋y2＝10.2．本例中，若将“圆心在3x－y－2＝0上”改为“圆心在y轴上，”试求圆的标准方程．[解]设AB中点为M，则M(1,2)，又kAB＝3－1－1－3＝－12，∴线段AB中垂线l的斜率为kl＝2，∴线段AB中垂线l的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x，令x＝0得y＝0.∴圆心坐标为(0,0)，半径r＝|OA|＝10.∴所求圆的方程为x2＋y2＝10.1．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤：(1)设出圆的标准方程．(2)根据条件得关于a，b，r的方程组，并解方程组得a，b，r的值．(3)代入标准方程，得出结果．2．求圆的标准方程时，要注意平面几何知识的应用，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的中垂线上．1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直-6-接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷．1．思考辨析(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．()(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．()(3)若(x0－a)2＋(y－b)2r2，则说明点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的外部．()(4)圆心定圆的位置，半径定圆的大小．()[解析](1)×，不一定，当m＝0时表示点(a，b)，当m≠0时，表示圆．[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52A[设直径两端点为A(x,0)，B(0，y)，则圆心(2，－3)为直径中点，∴2＝x＋02，－3＝0＋y2，即x＝4，y＝－6，∴A(4,0)，B(0，－6)，∴r＝12|AB|＝12×42＋62＝13，∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.]3．若点P(－1,3)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝______.±2[∵P点在圆x2＋y2＝m2上，∴(－1)2＋(3)2＝4＝m2，∴m＝±2.]4．△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求它的外接圆的方程．[解]设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，①-7-因为A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上，∴它们的坐标都满足方程①.于是5－a2＋1－b2＝r2，7－a2＋－3－b2＝r2，2－a2＋－8－b2＝r2，解此方程组得a＝2，b＝－3，r＝5，∴△ABC的外接圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.