高数--考研经典题目

考研数学1.设1lim)()1()1(2xnxnnebaxexxf，问a和b为何值时，)(xf可导，且求()fx解：∵1x时，)1(limxnne，1x时，0lim)1(xnne∴，xbax，xba，xxxf1,1,211,)(2由1x处连续性，1lim)(lim211xxfxx，121)1(baf，可知1ba再由1x处可导性，21(1)(1)lim1xxffx存在1()(1)(1)lim1xaxbffx存在且(1)(1)ff根据洛必达法则12(1)lim21xxf1(1)lim1xafa，∴2a于是11ab,1,12,1,1,1,)(2xxxxxxf2,1,()2,1,xxfxx例2设)(xf为周期是5的连续函数，在0x邻域内，恒有(1sin)3(1sin)8()fxfxxx。其中0)(lim0xxx，)(xf在1x处可导，求曲线)(xfy在点（)6(,6f）处的切线方程。解：由题设可知)1()6(ff，(6)(1)ff，故切线方程为(1)(1)(6)yffx所以关键是求出)1(f和(1)f由)(xf连续性)1(2)]sin1(3)sin1([lim0fxfxfx由所给条件可知0)1(2f，∴0)1(f再由条件可知8)sin)(sin8(limsin)sin1(3)sin1(lim00xxxxxxfxfxx令8)1(3)1(lim,sin0ttftftxt，又∵0)1(f∴上式左边=)()1()1(lim3)]1()1([lim00tftftftftt=(1)3(1)4(1)fff则4(1)8f(1)2f所求切线方程为)6(20xy即0122yx例2设xxyn1，求)(ny（n正整数）解：)1(1111)1(21xxxxxxynnn1)(1)()1(!])1[(nnnxnxy微分中值定理一、用罗尔定理的有关方法例1设)(xf在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且3)2()1()0(fff，1)3(f.试证：必存在)3,0(，使()0f证：∵)(xf在[0，3]上连续，∴)(xf在[0，2]上连续，且有最大值M和最小值m.于是Mfm)0(；Mfm)1(；Mfm)2(，故Mfffm)]2()1()0([31.由连续函数介值定理可知，至少存在一点[0,2]c使得1)]2()1()0([31)(fffcf，因此)3()(fcf，且)(xf在[c，3]上连续，（c，3）内可导，由罗尔定理得出必存在)3,0()3,(c使得()0f。例2设)(xf在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且132)0()(3fdxxf求证：存在)1,0(使0)('f证：由积分中值定理可知，存在2[,1]3c，使得132)321)(()(cfdxxf得到132)0()(3)(fdxxfcf对)(xf在[0，c]上用罗尔定理，（三个条件都满足）故存在)1,0(),0(c，使()0f例3设)(xf在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对任意1k，有kxdxxfxekf101)()1(求证存在)1,0(使1()(1)()ff证：由积分中值定理可知存在1[0,]ck使得)01)(()(1101kcfcedxxfxeckx令)()(1xfxexFx，可知)1()1(fF这样1110(1)(1)()()()xckFfkxefxdxcefcFc，对)(xF在]1,[c上用罗尔定理（三个条件都满足）存在)1,0()1,(c，使()0F而111()()()()xxxFxefxxefxxefx∴11()[()(1)()]0Feff又01e，则1()(1)()ff在例3的条件和结论中可以看出不可能对)(xf用罗尔定理，否则结论只是()0f，而且条件也不满足。因此如何构造一个函数)(xF，它与)(xf有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从()0F就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的)(xF是非常关键，下面的模型Ⅰ，就在这方面提供一些模型Ⅰ：设)(xf在],[ba上连续，（ba,）内可导，0)()(bfaf则下列各结论皆成立。（1）存在),(1ba使11()()0flf（l为实常数）（2）存在),(2ba使1222()()0kfkf（k为非零常数）（3）存在),(3ba使333()()()0fgf（)(xg为连续函数）证：（1）令)()(xfexFlx，在],[ba上用罗尔定理∵()()()lxlxFxlefxefx∴存在),(1ba使011111fefleFll消去因子1le，即证.（2）令()()kxFxefx，在],[ba上用罗尔定理1()()()kkkxxFxkxefxefx存在),(2ba使2212222()()()0kkkFkefef消去因子ke2，即证。（3）令)()()(xfexFxG，其中()()Gxgx()()()()()()GxGxFxgxefxefx由3()0F清去因子)(3Ge，即证。例4设)(xf在]1,0[上连续，在（0，1）内可导，0)1()0(ff，1)21(f，试证：（1）存在)1,21(，使)(f。（2）对任意实数，存在),0(，使得()[()]1ff证明：（1）令xxfx)()(，显然它在[0,1]上连续，又021)21(,01)1(，根据介值定理，存在)1,21(使0)(即)(f（2）令])([)()(xxfexexFxx，它在],0[上满足罗尔定理的条件，故存在),0(，使()0F，即01ffe从而()[()]1ff（注：在例4（2）的证明中，相当于模型Ⅰ中（1）的情形，其中l取为，)(xf取为xxfx)()(）模型Ⅱ：设)(xf，)(xg在],[ba上皆连续，（ba,）内皆可导，且0)(af，0)(bg，则存在),(ba，使()()()()0fgfg证：令)()()(xgxfxF，则0)()(bFaF，显然)(xF在[ba,]上满足罗尔定理的条件，则存在),(ba，使()0F，即证.例5设)(xf在[0,1]上连续，（0,1）内可导，0)0(f，k为正整数。求证：存在)1,0(使得()()()fkff证：令kxxg)1()(，1,0ba，则0)0(f，0)1(g，用模型Ⅱ，存在)1,0(使得1()(1)(1)()0kkfkf故()(1)()0fkf则()()()fkff例6设)(),(xgxf在),(ba内可导，且()()()()fxgxfxgx，求证)(xf在),(ba内任意两个零点之间至少有一个)(xg的零点证：反证法：设bxxa21，0)(1xf，0)(2xf而在)(2,1xx内0)(xg，则令)()()(xgxfxF在],[21xx上用罗尔定理[12121212()()()()0,()0,()0()()fxfxfxfxFxFxgxgx]（不妨假设0)(,0)(21xgxg否则结论已经成立）则存在),(21xx使()0F，得出()()()()0fgfg与假设条件矛盾。所以在),(21xx内)(xg至少有一个零点例7设)(),(xgxf在[ba,]二阶可导，且()0gx，又0)()()()(bgagbfaf求证：（1）在（ba,）内0)(xg；（2）存在),(ba，使()()()()ffgg证：（1）用反证法，如果存在),(bac使0)(cg，则对)(xg分别在[ca,]和[bc,]上用罗尔定理，存在),(1cax使1()0gx，存在),(2bcx使2()0gx，再对()gx在[21,xx]上用罗尔定理存在),(213xxx使3()0gx与假设条件()0gx矛盾。所以在),(ba内0)(xg（2）由结论可知即()()()()0fgfg，因此令)()(')(')()(xfxgxfxgxF，可以验证)(xF在[ba,]上连续，在),(ba内可导，0)()(bFaF满足罗尔定理的三个条件故存在),(ba，使()0F于是()()()()0fgfg成立二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理例1设)(xf在),(内可导，且lim()xfxe，)]1()([lim)(limxfxfcxcxxxx求c的值解：由条件易见，0ccccxxxxxeeexcxccxcx2)1()1(lim)(lim由拉格朗日中值定理，有()(1)()[(1)]()fxfxfxxf其中介于)1(x与x之间，那么)(lim)]1()([limxxxfxf()fe于是eec2，12c，则21c例2设)(xf是周期为1的连续函数，在（0，1）内可导，且0)1(f，又设0M是)(xf在[1，2]上的最大值，证明：存在)2,1(，使得()2fM。证：由周期性可知0)2()1()0(fff，不妨假定)2,1(0x而0)(0Mxf，对)(xf分别在[1,0x]和[0x,2]上用拉格朗日中值定理，存在),1(01x，使得010()(1)()1fxffx①存在)2,(02x，使得020(2)()()2ffxfx②如果)23,1(0x，则用①式，得010()()21fxfMx；如果03[,2)2x，则用②式，得020()()22fxfMx；因此，必有)2,1(，使得()2fM例3设)(xf在[0,1]上连续，（0,1）内可导，且0)0(f，1)1(f，证明：（Ⅰ）存在)1,0(，使得1)(f（Ⅱ）存在,(0,1)，，使()()1ff证：（Ⅰ）令1)()(xxfxg，则)(xg在[0,1]上连续，且01)0(g，01)1(g，用介值定理推论存在)1,0(，使0)(g，即1)(f（Ⅱ）在[0,]和[，1]上对)(xf用拉格朗日中值定理，存在),0(，使得()(0)1()0fff存在(,1)，，使(1)()1(1)()111fff∴()()1ff例4设函数)(xf在闭区间[ba,]上连续，在开区间（ba,）内可导，且()0fx，若极限axaxfax)2(lim存在，证明：（1）在),(ba内0)(xf；（2）在),(ba内存在，使)(2)(22fdxxfabba；（3）在),(ba内存在与（2）中相异的点，使222()()()bafbafxdxa证：（1）因为axa