第十四章--整式的乘除与因式分解教材分析

1第十四章整式的乘除与因式分解教材分析1、教学内容及地位本章属于《课程标准》中的“数与代数”领域，其核心知识是：整式的乘除运算和因式分解。这些知识是在学习了有理数的运算、列代数式、整式加减和解一元一次方程及不等式的基础引入的。也是进一步学习分式和根式运算、一元二次方程以及函数等知识的基础，同时又是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具，因此，本章在初中学段占有重要地位。2、本章教学内容在学习上各部分知识之间的联系如下：从上面可以看出，本章内容的突出的特点是：内容联系紧密、以运算为主。全章紧紧围绕整式的乘除运算，分层递进，层层深入。在整式的乘除中，单项式的乘除是关键，这是因为其他乘除都要转化为单项式除法。实际上，单项式的乘除进行的是幂的运算与有理数的运算，因此幂的运算是学好整式乘除的基础。3、教学目标《课程标准》目标人教材具体目标目标1：了解整数指数幂的意义和基本性质，会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）目标1：掌握正整数幂的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行计算.掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行计算.目标2：会推导乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；(a+b)2=a2+2ab+b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算.目标2：会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算.2目标3：会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）分解因式（指数是正整数）.目标3：理解因式的意义并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形，掌握提公因式法和运用公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解分解因式的一般步骤，能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.目标4：掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.目标解析:⑴解析每个目标①目标1中《课标》对整式乘法运算的要求——其中的多项式相乘仅指一次式相乘，是对多项式与多项式相乘的难度作一个要求。②目标2中对乘法公式的要求不仅是能利用公式进行（简单）的乘法运算，更要引起老师们注意的是，目标要求会“推导”乘法公式，因此在教学中要从代数、几何多个角度出发推导公式。③目标3中，《课标》要求：会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）分解因式（指数是正整数）。首先初中阶段对分解因式只要求掌握两种方法，而对于分组分解法和十字相乘法则不做要求；其次，直接用公式不超过二次，如把多项式a8-1分解因式则是超课标了；最后，多项式中的字母指数仅限于正整数的情况，不考虑指数是负数，分数或字母的情况。而在学习过程中比克标的要求要高一些，通过教学我们要让学生理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的互逆关系，从中体会事物之间相互转化的辨证思想。通过学生的自主探索，发现和掌握因式分解的基本方法——提公因式法和公式法（数学书P172选学部分中提到了“十字相乘法”），渗透特殊到一般，逆向思维，换元等思想，培养学生认真观察、深入分析问题的良好习惯和能力。通过因式分解的应用与实践，发展学生的数学思维能力，使他们获得一些研究问题、解决问题的经验与方法。显然教材比课标中的目标高很多，建议老师们根据自己学生的情况进行分层目标要求。⑵《课标》总目标与人教材具体目标整体要求偏低,建议从两个方面把握：③《课标》是由国家教育部制订的，教材的版本可以不同，但《课标》是同一个，从中考角度讲，中考内容一定不能超出《课标》要求的范围，因此应以《课标》为准绳把握教学目标。④《课标》是国家对义务教育阶段数学课程的基本规范和要求，它只规定了学生在相应学段应该达到的最低、最基本的要求，因此又要根据学生的具体情况和教材编写的特点，提出不同层次的教学目标。4、本章教学重点、难点本章教学重点是整式的乘除运算和因式分解的两种基本方法，教学难点乘法公式的灵活应用，熟练掌握因式分解的两种方法和变形技巧。5、课时安排本章教学时间约13课时，具体分配如下（仅供参考）：15.1整式的乘法4课时15.2乘法公式2课时15.3整式的除法2课时15.4因式分解3课时数学活动小结2课时6、教学要求3基本要求---会识别、能计算：经历幂的运算性质、整式的乘法法则、乘法公式的探索过程，能够进行简单的整式乘法运算（特别是利用乘法公式进行计算）.掌握三个对象以内的数字指数的幂的运算，如：223()aaa掌握可转化为幂的运算的数字简单问题，如：24273掌握三个以内单项式的乘法运算，如：23232(2)ababab掌握一个单项式与一个二项式的乘法运算，如：223(23)xyxyxy掌握两个一次二项式的乘法运算（特别是应用乘法公式的），如：2(3)(2);(2)(2);(3)xxababmn经历整式除法法则的探索过程，会进行简单的整式除法运算.理解因式分解的意义，感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形.掌握因式分解的方法——提取公因式法和公式法（直接使用公式不超过两次）.并能熟练地运用这些方法进行简单的因式分解．略高要求---会运用性质解决相关问题能灵活地运用三个幂的运算性质进行计算，并能弄清各性质之间以及它们与合并同类项之间的区别与联系．能根据运算性质、法则进行整式的加、减、乘、除、乘方较简单的混合运算.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.如：415×0.2515=（4×0.25）15=…；（利用乘法交换律和结合律，逆用积的乘方性质简化运算）98×102=（100-2）×（100+2）=…；1022=（100+2）2=….（利用乘法公式将数的运算简化）能综合运用两个乘法公式进行计算，并把公式推广到三个数的情况.如：P155例5：运用乘法公式进行计算：(1)(x+2y-3)(x-2y+3)；(2)(a+b+c)2体会代数与几何图形之间的联系，能用几何图形解释代数恒等式，从中体会数学的整体性.如平方差公式和完全平方公式.较高要求---知识的灵活应用能够逆用幂的运算性质进行简化计算.如：P164第7题：若2m=a,32n=b，则23m+10n=.（用a、b的代数式表示）会逆用乘法公式解决问题.如：P171第9题：若4y2+my+9是一完全平方式，求m值.如：已知x-y=-10，求222xyxy的值.（可以整体代入）能够综合应用本章的知识适当进行等式的恒等变形.如：P157第7题：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值.如：已知x+5y=6,求x2+5xy+30y的值.（利用因式分解，两次整体代入）如：在(x2+ax+b)(2x2-3x-1)的积中，x3项的系数是-5，x2项的系数是-6，求a，b的值.（求待定系数的值）知道在实数范围内分解因式.如P17211.（无特别说明都是指在有理数范围内分解因式）7、教学建议4⑴把握教学要求，重视“过程”的教学为减轻学生负担，培养学生的创新精神和实践能力，新的课程标准中对于那些对后续学习意义不大、学得很早但用得很晚，以及过繁过难的内容进行了删减或降低要求。教学中要注意准确把握教学要求，避免将删掉或降低难度的内容重新拣回。本章整式乘除的运算性质、除法运算性质、乘法公式的得出过程，一般都是从数的运算，归纳得到式的运算性质，是一个由特殊到一般，从具体到抽象的归纳过程。在性质和公式发生过程的教学中，要重视上述归纳的过程教学，使学生在这个过程中理解和掌握性质和公式。应是学生在理解的基础上加以记忆，在运用的基础上予以巩固。⑵改变教学方式，加强学生的自主活动教材中安排了大量的“探究”和“思考”栏目，以“观察——归纳-----类比——概括”为主要线索呈现运算法则的探索过程。在探索活动中体会整式运算的规律，教学中应注重学生对算理的理解，能够合理安排运算顺序，寻找简捷的运算途径，有意识地培养学生的推理能力和表达能力。在本章教学中，可以通过设置合理的问题情境，引导学生观察、思考、探究和归纳；通过设置恰当数量和难度的符号运算，促进学生对算理的理解和基本运算技能的掌握；通过“探究”栏目，让学生体验获得结论的过程，获得成功的喜悦和信心；通过“思考”栏目可以拓展思维空间，促进数学思考，加深对问题的认识。在学习活动中要充分信任学生，努力发挥他们的主观能动性，让他们通过观察、思考、探究、讨论、归纳，主动地进行学习。勤于思考，善于思考，是学好数学的先决条件。⑶渗透思想方法，注意数学知识间的内在联系本章主要涉及的数学思想方法有：转化思想、数形结合思想、类比思想、分类讨论思想、一般到特殊再到一般的基本数学思想等。“转化思想”的使用在本章中极为突出。例如多项式的乘除法都是先转化为单项式的乘除，再转化为有理数的乘除与同底数幂的乘除法。由此可以看出，在整式的乘除法的学习中，只有打好基础，才能够熟练地进行后面的运算；只有在熟练运用转化方法的前提下，才能够顺利地取得较好的效果。在教学中，还要注意代数与几何之间的内在联系。数形结合，实际上就是抽象与直观的结合。在以运算为主的“整式的乘除”一章中，抽象的运算公式、性质和法则借助于图形，就可以直观地反映它们的含义，揭示它们的本质，便于学生理解，增强记忆效果。比如教材在介绍单乘多、多乘多、平方差公式、完全平方公式时，都是先通过计算，得出用符号语言表达的法则，然后用文字语言加以概括和总结，最后用图形语言给出直观解释，将文字、符号、图形这三种数学语言的有机结合，有利于学生理解和掌握知识，提高学生学习数学的兴趣，培养学生的数学交流能力。8、具体教学建议第一部分对章前引言内容应给予一定重视一般地，章节前面的引言内容是一章的主线，是本章主要内容的经典浓缩，教学中，我们要给予一定重视。第十五章“整式”以实际背景“长方形绿地”切入，引出数学问题“整式运算和因式分解”，即本章的核心知识，进而指出只有学习了本章知识，才能解决前面提到的实际问题，体现出“知识来源于生活，最后又应用于生活”的一般认识规律。