三角函数的性质-PPT课件

第5节三角函数的性质(对应学生用书第52页)(对应学生用书第52～53页)1．周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)．函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(ω0且为常数)的周期T＝2πω，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω0)的周期T＝πω.质疑探究：正切函数y＝tanx在定义域内是增函数吗？提示：不是．正切函数y＝tanx在每一个区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上都是增函数，而在定义域内没有单调性．1．(2010年高考湖北卷)函数f(x)＝3sin(x2－π4)(x∈R)的最小正周期是(D)(A)π2(B)π(C)2π(D)4π解析：T＝2π12＝4π，故选D.2．若函数f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数，则φ的一个值为(B)(A)φ＝π(B)φ＝－π2(C)φ＝－π4(D)φ＝－π8解析：当φ＝－π2时f(x)＝sin(2x－π2)＝－cos2x是偶函数．故选B.大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点3．(2010年嘉兴市测试卷)已知函数f(x)＝sin(x－π2)(x∈R)，下面结论错误的是(C)(A)函数f(x)的最小正周期是2π(B)函数f(x)的图象关于直线x＝0对称(C)函数f(x)是奇函数(D)函数f(x)在[0，π2]上是增函数解析：∵f(x)＝sin(x－π2)＝－cosx，∴f(x)是偶函数，故选C.4．(教材改编题)给出下列函数：①y＝sinx；②y＝cosx；③y＝tan2x；④y＝sin(x－π4)．其中在[π4，π2]上是增函数的是________．解析：结合图象可知，y＝sinx在[π4，π2]上是增函数，y＝cosx在[π4，π2]上为减函数，y＝tan2x在x＝π4处无意义；所以它在[π4，π2]上不是增函数．若π4≤x≤π2，则0≤x－π4≤π4，∴y＝sin(x－π4)在[π4，π2]为增函数，因此，符合要求的函数是①④.答案：①④(对应学生用书第53～54页)三角函数的值域和最值【例1】(2010年高考天津卷)已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝65，x0∈[π4，π2]，求cos2x0的值．审题指导：解：(1)由f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1，得f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6)．运用两角和、差、二倍角正、余弦三角函数公式先对fx进行化简所以函数f(x)的最小正周期为π.利用公式T＝2π|ω|求得f(x)的最小正周期因为f(x)＝2sin(2x＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数，判断f(x)在[0，π2]上的单调变化规律又f(0)＝1，f(π6)＝2，f(π2)＝－1，求出f(x)在[0，π2]上的极值及区间端点的函数值所以函数f(x)在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1.总结过程，呈现结论(2)由(1)可知f(x0)＝2sin(2x0＋π6)．又因为f(x0)＝65，所以sin(2x0＋π6)＝35.对条件f(x0)＝65化简由x0∈[π4，π2]，得2x0＋π6∈[2π3，7π6]．从而cos(2x0＋π6)＝－1－sin22x0＋π6＝－45.求出cos2x0＋π6，将函数名称与要求值函数化为一致所以cos2x0＝cos[(2x0＋π6)－π6]＝cos(2x0＋π6)cosπ6＋sin(2x0＋π6)sinπ6＝3－4310.通过角的配凑，实现已知与未知的转化，得出答案求三角函数的最值问题，常用方法有：①转化为关于弦的一次型函数，利用sinx，cosx的有界性；②转化为关于弦的二次型函数；③分式形式可考虑用基本不等式；④数形结合；⑤单调性；⑥求导数．变式探究11：(2010年高考北京卷)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx，(1)求f(π3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．解：(1)f(π3)＝2cos2π3＋(sinπ3)2－4cosπ3＝－1＋34－2＝－94.(2)∵f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝3(cosx－23)2－73，x∈R.又cosx∈[－1,1]，∴当cosx＝－1时，f(x)取得最大值6；当cosx＝23时，f(x)取得最小值－73.三角函数的周期性、奇偶性【例2】已知函数f(x)＝2sinx4cosx4－23sin2x4＋3，(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；(2)令g(x)＝f(x＋π3)，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．思路点拨：(1)先化简函数f(x)为Asin(ωx＋φ)的形式，然后依据公式求周期，利用sinx的有界性求最值．(2)化简g(x)，再用定义判断g(x)的奇偶性．解：(1)∵f(x)＝sinx2＋3(1－2sin2x4)＝sinx2＋3cosx2＝2sin(x2＋π3)，∴f(x)的最小正周期T＝2π12＝4π.当sin(x2＋π3)＝－1时，f(x)取得最小值－2；当sin(x2＋π3)＝1时，f(x)取得最大值2.(2)由(1)知f(x)＝2sin(x2＋π3)，又g(x)＝f(x＋π3)，∴g(x)＝2sin[12(x＋π3)＋π3]＝2sin(x2＋π2)＝2cosx2.∵g(－x)＝2cos(－x2)＝2cosx2＝g(x)，∴函数g(x)是偶函数．求三角函数的周期时，要先对解析式进行化简，化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)的形式，再利用公式T＝2π|ω|或T＝π|ω|求解．有时也可根据函数的图象，通过观察求得周期．变式探究21：(2009年高考广东卷)函数y＝2cos2(x－π4)－1是()(A)最小正周期为π的奇函数(B)最小正周期为π2的奇函数(C)最小正周期为π的偶函数(D)最小正周期为π2的偶函数解析：∵y＝cos(2x－π2)＝cos(π2－2x)＝sin2x，∴T＝π，且sin(－2x)＝－sin2x，∴f(x)是奇函数，故选A.三角函数的单调性【例3】已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)上的一个最高点的坐标为(π2，2)，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(32π，0)，若φ∈(－π2，π2)．(1)试求这条曲线的函数解析式；(2)写出函数的单调区间．思路点拨：通过已知条件可求得A的值和周期，从而求得ω，再结合一个点的坐标求出φ即可得解析式，从而求出单调区间．解：(1)依题意，A＝2，T＝4×(3π2－π2)＝4π，∵T＝2π|ω|＝4π，ω0，∴ω＝12.∴y＝2sin(12x＋φ)．又曲线上的最高点为(π2，2)，∴sin(12×π2＋φ)＝1，∴φ＋π4＝2kπ＋π2，k∈Z.∵－π2φπ2，∴φ＝π4.∴y＝2sin(12x＋π4)．(2)令2kπ－π2≤12x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，∴4kπ－3π2≤x≤4kπ＋π2，k∈Z.∴函数y＝2sin(12x＋π4)的单调递增区间为[4kπ－3π2，4kπ＋π2](k∈Z)．令2kπ＋π2≤12x＋π4≤3π2＋2kπ，k∈Z，∴4kπ＋π2≤x≤4kπ＋5π2，k∈Z.∴函数y＝2sin(12x＋π4)的单调递减区间为[4kπ＋π2，4kπ＋5π2](k∈Z)．求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx＋φ看作一个整体，由－π2＋2kπ≤ωx＋φ≤π2＋2kπ(k∈Z)求得函数的增区间，由π2＋2kπ≤ωx＋φ≤3π2＋2kπ(k∈Z)求得函数的减区间．若在y＝Asin(ωx＋φ)中，ω0，则应先利用诱导公式将解析式转化，使x的系数变为正数，再进行求解．【例题】已知向量a＝(cosx－3，sinx)，b＝(cosx，sinx－3)，f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；(2)若x∈[－π，0]，求函数f(x)的单调递增区间．解：(1)f(x)＝a·b＝(cosx－3，sinx)·(cosx，sinx－3)＝cos2x－3cosx＋sin2x－3sinx＝1－3(sinx＋cosx)＝1－32sin(x＋π4)，∴函数f(x)的最小正周期为2π，最大值为1＋32，最小值为1－32.(2)由(1)得f(x)＝1－32sin(x＋π4)，由2kπ＋π2≤x＋π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z)，又∵x∈[－π，0]，∴函数f(x)的单调递增区间为[－π，－3π4]．错源：忽视“内”“外”单调规律，盲目套用结论【例题】函数y＝sin(－2x＋π3)的递减区间是________．错解：令2kπ＋π2≤－2x＋π3≤2kπ＋3π2，解得－kπ－7π12≤x≤－kπ－π12，k∈Z，所以函数的递减区间是[－kπ－7π12，－kπ－π12](k∈Z)．错解分析：本题的错误在于解题中没有对函数y＝sin(－2x＋π3)的解析式进行转化，盲目套用结论而导致的，事实上，该函数是由y＝sinu，u＝－2x＋π3两个函数复合而成的，而u＝－2x＋π3是递减的，这样令2kπ＋π2≤u≤2kπ＋3π2，k∈Z，求得的并不是原函数的递减区间．正解：由于y＝sin(－2x＋π3)＝－sin(2x－π3)，即求y＝－sin(2x－π3)的单调递减区间，也就是求v＝sin(2x－π3)的递增区间，由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，(k∈Z)．故应填[kπ－π12，kπ＋5π12](k∈Z)．答案：[kπ－π12，kπ＋5π12](k∈Z)(对应学生用书第261页)【选题明细表】一、选择题1．(2010年湘潭五模)函数f(x)＝sin2x－cos2x的最小正周期是(B)(A)π2(B)π(C)2π(D)4π2．(2009年高考江西卷)若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx,0≤xπ2，则f(x)的最大值为(B)(A)1(B)2(C)3＋1(D)3＋2解析：f(x)＝cosx＋3sinx＝2sin(x＋π6)，若0≤xπ2，则π6≤x＋π62π3，∴12≤sin(x＋π6)≤1，∴f(x)max＝2，故选B.3．(2011年北京东直门中学模拟)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM―→·ON―→＝0，则A·ω等于(C)(A)π6(B)712π(C)76π(D)73π解析：由题图可知，T＝π，所以ω＝2，易得sin(2×π12＋φ)＝1，所以φ＝π3，因此y＝Asin(2x＋π3)，又M(π12，A)，N(7π12，－A)，若OM―→·ON―→＝0，则π12×7π12－A2＝0，所以A＝712π，因此A·ω＝2×712π＝76π，故选C.4．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，则f(x)是(D)(A)最小正周期为π的奇函数(B)最小正周期为π2的奇函数(C)最小正周期为π的偶函数(D)最小正周期为π2的偶函数解析：∵f(x)＝(1＋cos2x)1－cos2x2＝12(1－cos22x)＝12－12(1＋cos4x2)＝14－14cos4x，∴T＝2π4＝π2，f(－x)＝f(x)，故选D.5.(2011年广东江门市高考模拟)直线x＝π3，x＝π2都是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜π)的对称轴，且函数f(x)在区间[π3，π2]上单调递减，则(A)(A)ω＝6，φ＝π2(B)ω＝6，φ＝－π2(C)ω＝3，φ＝π2(D)ω＝3，φ＝