20202021学年高中数学第一章数列14数列在日常经济生活中的应用课后习题含解析北师大版必修5

1§4数列在日常经济生活中的应用课后篇巩固探究A组1.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,则剩余钢管的根数为()A.9B.10C.19D.29解析:∵200,而满足200时,n可取的最大值为19.当n=19时,=190,∴200-190=10.答案:B2.银行一年定期的年利率为r,三年定期的年利率为q,为吸引长期资金,鼓励储户存三年定期存款,则q的值应略大于()A.√-B.[(1+r)3-1]C.(1+r)3-1D.r解析:设储户存a元,存一年定期并自动转存,三年后的本利和为a(1+r)3元.三年定期的本利和为a(1+3q)元.为鼓励储户存三年定期,则a(1+3q)a(1+r)3,即q[(1+r)3-1].答案:B3.某运输卡车从材料工地运送电线杆到500m以外的公路,沿公路一侧每隔50m埋一根电线杆,又知每次最多只能运3根,要完成运载20根电线杆的任务,最佳方案是使运输卡车运行()A.11700mB.14600mC.14500mD.14000m解析:由近往远运送,第一次运两根,以后每次运三根,这种运法最佳,由近往远运送,每次来回行走的米数构成一个等差数列,记为{an},则a1=1100,d=300,n=7,故S7=7×1100+×300=14000.答案:D4.某林厂现在的森林木材存量是1800万立方米,木材以每年25%的增长率生长,而每年要砍伐固定的木材量为x万立方米,为达到经两次砍伐后木材存量增加50%的目标,则x的值是()A.40B.45C.50D.55解析:经过一次砍伐后,木材存量为1800(1+25%)-x=2250-x;经过两次砍伐后,木材存量为(2250-x)×(1+25%)-x=2812.5-2.25x.由题意应有2812.5-2.25x=1800×(1+50%),2解得x=50.答案:C5.一个卷筒纸,其内圆直径为4cm,外圆直径为12cm,一共卷了60层,若把各层都视为一个同心圆,π取3.14,则这个卷筒纸的长度约为m(精确到个位).解析:∵纸的厚度相同,∴各层同心圆直径成等差数列.∴l=πd1+πd2+…+πd60=60π·=480π=1507.2cm≈15m.答案:156.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2kB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后分,该病毒占据64MB(1MB=210kB).解析:由题意可得每3分病毒占的内存容量构成一个等比数列,设病毒占据64MB时自身复制了n次,即2×2n=64×210=216,解得n=15,从而复制的时间为15×3=45(分).答案:457.甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄,甲存5年定期储蓄,年利率为2.88%,乙存一年定期储蓄,年利率为2.25%,并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄,按规定每次计息时,储户须交纳20%作为利息税.若存满五年后两人同时从银行中取出存款,则甲、乙所得利息之差为元.解析:由已知甲所得本息和a=10000+10000×2.88%×5×80%,而乙实际上年利率在去掉利息税后为×2.25%,故乙所得本息和应为b=10000×(),经计算a-b≈219.01(元).答案:219.018.某地区有荒山2200亩,从2015年开始每年年初在荒山上植树造林,第一年植树100亩,以后每一年比上一年多植树50亩(假定全部成活).则至少需要几年可将荒山全部绿化?解设第n年植树造林an亩,数列{an}的前n项和为Sn,则数列{an}为等差数列,其中a1=100,d=50,∴an=100+50×(n-1)=50(n+1),∴Sn=na1+-d=100n+-×50=25(n2+3n),要将荒山全部绿化,只要Sn≥2200,即25(n2+3n≥2200,∴n2+3n-8×11≥0,得n≥8,故至少需要8年可将荒山全部绿化.9.导学号33194026为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,长沙市计划用若干年更换一万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型3车.今年年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a辆.(1)求经过n年,该市被更换的公交车总数S(n);(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换,求a的最小值.解(1)设an,bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,依题意知,数列{an}是首项为128,公比为1+50%=的等比数列,数列{bn}是首项为400,公差为a的等差数列.所以数列{an}的前n项和Sn=[-()]-=256[()-],数列{bn}的前n项和Tn=400n+-a.所以经过n年,该市更换的公交车总数S(n)=Sn+Tn=256[()-]+400n+-a.(2)若用7年的时间完成全部更换,则S7≥10000,即256[()-]+400×7+a≥10000,即21a≥3082,所以a≥.又a∈N+,所以a的最小值为147.B组1.通过测量知道,温度每降低6℃,某电子元件的电子数目就减少一半.已知在零下34℃时,该电子元件的电子数目为3个,则在室温27℃时,该元件的电子数目接近()A.860个B.1730个C.3072个D.3900个解析:由题设知,该元件的电子数目变化为等比数列,且a1=3,q=2,由27-(-34)=61,=10,可得a11=3·210=3072,故选C.答案:C2.现存入银行8万元,年利率为2.50%,若采用1年期自动转存业务,则5年末的本利和是()万元.A.8×1.0253B.8×1.0254C.8×1.0255D.8×1.0256解析:定期自动转存属于复利计算问题,5年末的本利和为8×(1+2.50%)5=8×1.0255(万元).答案:C43.某企业在2016年年初贷款M万元,年利率为m,从该年年末开始,每年偿还的金额都是a万元,并恰好在10年间还清,则a的值等于()A.-B.C.-D.解析:由已知条件和分期付款公式可得,a[(1+m)9+(1+m)8+…+(1+m)+1]=M(1+m)10,则a=-.答案:C4.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价a,最高销售限价b(ba)以及实数x(0x1)确定实际销售价格c=a+x(b-a).这里,x被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项.据此可得,最佳乐观系数x的值等于.答案:-√5.已知某火箭在点火第一秒通过的路程为2km,以后每秒通过的路程都增加2km,在达到离地面240km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是秒.解析:设每一秒通过的路程依次为a1,a2,a3,…,an,则数列{an}是首项a1=2,公差d=2的等差数列.由求和公式得na1+-=240,即2n+n(n-1)=240,解得n=15.答案:156.某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加5千元.两种方案使用期都是10年,到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算,试比较两种方案中,哪种纯获利更多?(取1.0510≈1.629,1.310≈13.786,1.510≈57.665)解①甲方案获利:1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9=-≈42.62(万元),银行贷款本息:10(1+5%)10≈16.29(万元),故甲方案纯获利:42.62-16.29=26.33(万元).②乙方案获利:1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+…+(1+9×0.5)=10×1+×0.5=32.5(万元),银行本息和:1.05×[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)9]=1.05×-≈13.21(万元).故乙方案纯获利:32.50-13.21=19.29(万元).综上所述,甲方案纯获利更多.57.导学号33194027某企业在第1年年初购买一台价值为120万元的设备M,M的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年,每年年初M的价值比上年年初减少10万元;从第7年开始,每年年初M的价值为上年年初的75%.(1)求第n年年初设备M的价值an的表达式;(2)设An=…,若An大于80万元,则M继续使用,否则须在第n年年初对M更新.证明:须在第9年年初对设备M更新.(1)解当n≤6时,数列{an}是首项为120,公差为-10的等差数列,an=120-10(n-1)=130-10n.当n≥7时,数列{an}是以a7为首项,为公比的等比数列,又a7=70×,所以an=70×()-=70×()-.因此,第n年年初,M的价值an的表达式为an={-,,()-,(2)证明设Sn表示数列{an}的前n项和,由等差及等比数列的求和公式得,当1≤n≤6时,Sn=120n-5n(n-1),An=120-5(n-1)=125-5n.当n≥7时,Sn=S6+(a7+a8+…+an)=570+70××4×[-()-]=780-210×()-,An=-()-.易知{An}是递减数列,又A8=-()-=8280,A9=-()-=7680,所以须在第9年年初对设备M更新.