20202021学年高中数学第三章不等式332基本不等式与最大小值课后习题含解析北师大版必修5

13.2基本不等式与最大(小)值课后篇巩固探究1.若a0,b0,且ln(a+b)=0,则的最小值是()A.B.1C.4D.8解析:由a0,b0,ln(a+b)=0,得{所以=2+≥2+2√=4,当且仅当a=b=时,等号成立.所以的最小值为4.答案:C2.若x4,则函数y=-x+-()A.有最大值-6B.有最小值6C.有最大值-2D.有最小值2解析:因为x4,所以x-40.所以y=-x+-=-[--]-4≤-2-4=-6,当且仅当x-4=-,即x=5时,等号成立.答案:A3.已知x1,y1,且lnx,,lny成等比数列,则xy有()A.最小值eB.最小值√C.最大值eD.最大值√解析:因为x1,y1,且lnx,,lny成等比数列,所以lnx·lny=().所以=lnx·lny≤(),当且仅当x=y=√时,等号成立,所以lnx+lny≥1即lnxy≥1所以xy≥e.答案:A4.已知函数f(x)=|lgx|,若a≠b,且f(a)=f(b),则a+b的取值范围是()A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(2,+∞)D.[2,+∞)2解析:由已知得|lga|=|lgb|,a0,b0,所以lga=lgb或lga=-lgb.因为a≠b,所以lga=lgb不成立,所以只有lga=-lgb,即lga+lgb=0,所以ab=1,b=.又a0,a≠b,所以a+b=a+2.故选C.答案:C5.若log4(3a+4b)=log2√,则a+b的最小值是()A.6+2√B.7+2√C.6+4√D.7+4√解析:由题意得{√所以{又log4(3a+4b)=log2√,所以log4(3a+4b)=log4ab.所以3a+4b=ab,所以=1.所以a+b=(a+b)()=7+≥7+2√=7+4√,当且仅当,即a=4+2√,b=3+2√时取等号,故选D.答案:D6.若正数a,b,c满足c2+4bc+2ac+8ab=8,则a+2b+c的最小值为()A.√B.2√C.2D.2√解析:方法一:c2+4bc+2ac+8ab=(c+2a)(c+4b)=8,因为a,b,c均为正数,所以由基本不等式得(c+2a)·(c+4b≤(),所以a+2b+c≥2√.当且仅当c+2a=c+4b,即a=2b时,等号成立.方法二:(a+2b+c)2=a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc,因为c2+8ab+2ac+4bc=8,所以(a+2b+c)2=a2+4b2-4ab+8=(a-2b)2+8≥8所以a+2b+c≥2√.答案:D7.(2017山东高考)若直线=1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.解析:∵直线=1过点(1,2),∴=1.∵a0,b0,∴2a+b=(2a+b)()=4+()≥4+2√=8.当且仅当b=2a时“=”成立.答案:838.导学号33194063(2017天津高考)若a,b∈R,ab0,则的最小值为.解析:∵a,b∈R,且ab0,∴=4ab+≥4(当且仅当{即{√√时取等号).答案:49.导学号33194064已知x0,y0,且=1,若x+2ym2+2m恒成立,则实数m的取值范围是.解析:因为x0,y0,且=1,所以x+2y=(x+2y)()=4+≥4+2√=8,当且仅当,即x=4,y=2时,x+2y取得最小值8,所以m2+2m8,解得-4m2.答案:(-4,2)10.导学号33194065已知正常数a,b和正变数x,y,满足a+b=10,=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.解由已知得x+y=(x+y)·1=(x+y)·()=a+b+≥a+b+2√=(√√)2,当且仅当{即{√√时等号成立,所以x+y的最小值为(√√)2=18.又a+b=10,所以ab=16.所以a,b是方程x2-10x+16=0的两根,所以a=2,b=8或a=8,b=2.11.导学号33194066已知a,b都是正实数,且a+b=1.(1)求证:≥4;(2)求()()的最小值.(1)证明因为a+b=1,a0,b0,4所以()(a+b)=2+≥2+2√=4,当且仅当a=b=时,等号成立.所以≥4.(2)解因为a+b=1,a0,b0,所以()()≥2()(),又√,所以0ab≤,即≥4所以1+≥5.所以()(),当且仅当a=b=时,等号成立.所以()()的最小值为.12.某单位用2160万元购得一块空地,计划在该块地上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房.经测算,若将楼房建为x(x≥10层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积)解设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元,则f(x)=560+48x+=560+48x+(x≥10x∈N+),所以f(x)=560+48x+≥560+2√=2000,当且仅当48x=,即x=15时,等号成立.因此,当x=15时,f(x)取最小值2000.答:为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层.