20202021学年高中数学第二章解三角形211正弦定理课后习题含解析北师大版必修5

1第二章解三角形§1正弦定理与余弦定理1.1正弦定理课后篇巩固探究A组1.在△ABC中,若,则B的值为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:因为,所以,所以cosB=sinB,从而tanB=1,又0°B180°,所以B=45°.答案:B2.在△ABC中,若B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长是()A.√B.√C.D.√解析:由已知得A=75°,所以B最小,故最短边是b.由,得b=√.答案:A3.在△ABC中,若b=8,c=8√,S△ABC=16√,则A等于()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°解析:由三角形面积公式得×8×8√·sinA=16√,于是sinA=,所以A=30°或A=150°.答案:C4.下列条件判断三角形解的情况,正确的是()A.a=8,b=16,A=30°有两解B.b=9,c=20,B=60°有一解C.a=15,b=2,A=90°无解D.a=30,b=25,A=150°有一解2解析:对于A,sinB=sinA=1,所以B=90°,有一解;对于B,sinC=sinB=√1,所以无解;对于C,sinB=sinA=1,又A=90°,所以有一解;对于D,sinB=sinA=1,又A=150°,所以有一解.答案:D5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A∶B=1∶2,且a∶b=1∶√,则cos2B的值是()A.-B.C.-√D.√解析:由已知得√,所以cosA=√,解得A=30°,B=60°,所以cos2B=cos120°=-.答案:A6.在△ABC中,若a=√,A=45°,则△ABC的外接圆半径为.解析:因为2R=√=2,所以R=1.答案:17.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=√,则B=.解析:由正弦定理得,即√,解得sinB=√,又因为ba,所以B=或B=.答案:或8.导学号33194034在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC的形状是.解析:由sin2A=sin2B+sin2C,利用正弦定理,得a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形,且A=90°,所以B+C=90°,B=90°-C,所以sinB=cosC.由sinA=2sinBcosC,可得1=2sin2B,所以sin2B=,sinB=√,所以B=45°,C=45°.所以△ABC为等腰直角三角形.答案:等腰直角三角形39.在△ABC中,sin(C-A)=1,sinB=.(1)求sinA的值;(2)设AC=√,求△ABC的面积.解(1)由sin(C-A)=1,-πC-Aπ,知C=A+.又A+B+C=π,所以2A+B=,即2A=-B,0A.故cos2A=sinB,即1-2sin2A=,sinA=√.(2)由(1)得cosA=√,sinC=sin()=cosA.又由正弦定理,得,BC==3√,所以S△ABC=AC·BC·sinC=AC·BC·cosA=3√.10.导学号33194035在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,角A,B,C成等差数列.(1)求cosB的值;(2)边a,b,c成等比数列,求sinAsinC的值.解(1)因为角A,B,C成等差数列,所以2B=A+C.又A+B+C=π,所以B=,所以cosB=.(2)因为边a,b,c成等比数列,所以b2=ac,根据正弦定理得sin2B=sinAsinC,所以sinAsinC=sin2B=().B组1.已知在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若三角形有两解,则x的取值范围是()A.x2B.x2C.2x2√D.2x2√解析:由题设条件可知{解得2x2√.答案:C2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则-的值为()A.B.C.1D.解析:因为3a=2b,所以b=a.4由正弦定理可知---.答案:D3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2√,c=2√,1+,则C=()A.B.C.或πD.解析:由1+得,从而cosA=,所以A=,由正弦定理得√√√,解得sinC=√,又C∈(0,π),所以C=或C=(舍去),选B.答案:B4.设a,b,c三边分别是△ABC中三个内角A,B,C所对应的边,则直线xsin(π-A)+ay+c=0与bx-ycos(-)+sinC=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直解析:由已知得k1=-,k2=,因为,所以k1·k2=-=-=-1,所以两直线垂直,故选C.答案:C5.导学号33194036已知在锐角三角形ABC中,A=2B,a,b,c所对的角分别为A,B,C,则的取值范围是.解析:在锐角三角形ABC中,A,B,C均小于90°,所以{-所以30°B45°.由正弦定理得=2cosB∈(√√),故的取值范围是(√√).答案:(√√)6.在△ABC中,已知sinB·sinC=cos2,A=120°,a=12,则△ABC的面积为.解析:因为sinB·sinC=cos2,所以sinB·sinC=,所以2sinBsinC=cosA+1.又因为A+B+C=π,所以cosA=cos(π-B-C)=-cos(B+C)=-cosB·cosC+sinB·sinC,所以2sinBsinC=-cosB·cosC+sinB·sinC+1,所以cosB·cosC+sinB·sinC=cos(B-C)=1.因为B,C为△ABC的内角,所以B=C.因为A=120°,所以B=C=30°.5由正弦定理得,b=√=4√,所以S△ABC=absinC=×12×4√=12√.答案:12√7.导学号33194037△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2=b(b+c),求证:A=2B.证明由已知及正弦定理得,sin2A=sin2B+sinB·sinC,因为A+B+C=π,所以sinC=sin(A+B),所以sin2A=sin2B+sinB·sin(A+B),所以sin2A-sin2B=sinB·sin(A+B).因为sin2A-sin2B=sin2A(sin2B+cos2B)-sin2B(sin2A+cos2A)=sin2Acos2B-cos2Asin2B=(sinAcosB+cosAsinB)(sinAcosB-cosAsinB)=sin(A+B)·sin(A-B),所以sin(A+B)·sin(A-B)=sinB·sin(A+B).因为A,B,C为△ABC的三个内角,所以sin(A+B≠0所以sin(A-B)=sinB,所以只能有A-B=B,即A=2B.8.导学号33194038在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知cosB=,(1)判断△ABC的形状;(2)若sinB=√,b=3,求△ABC的面积.解(1)因为cosB=,所以cosB=,所以sinA=2cosBsinC.又sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,所以sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC.所以sinBcosC-cosBsinC=sin(B-C)=0.所以在△ABC中,B=C,所以△ABC为等腰三角形.(2)因为C=B,所以0B,c=b=3.因为sinB=√,所以cosB=√.所以sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin2B=2sinBcosB=√,6所以S△ABC=bcsinA=×3×3×√=3√.