20202021学年高考数学考点第七章数列等差数列及其前n项和理

等差数列及其前n项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.3．等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．(7)若{an}是等差数列，则Snn也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差为12d.5．等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋an2或Sn＝na1＋nn－12d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．7．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值．概念方法微思考1．“a，A，b是等差数列”是“A＝a＋b2”的什么条件？提示充要条件．2．等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？提示不一定．当公差d＝0时，Sn＝na1，不是关于n的二次函数．1．（2020•北京）在等差数列{}na中，19a，51a．记12(1nnTaaan，2，)，则数列{}(nT)A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项【答案】B【解析】设等差数列{}na的公差为d，由19a，51a，得511(9)2514aad，92(1)211nann．由2110nan，得112n，而*nN，可知数列{}na是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．可知190T，2630T，33150T，49450T为最大项，自5T起均小于0，且逐渐减小．数列{}nT有最大项，无最小项．故选B．2．（2020•新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）()A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块【答案】C【解析】方法一：设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差9d，19a，由等差数列的性质可得nS，2nnSS，32nnSS成等差数列，且2322()()nnnnSSSSnd，则2729nd，则9n，则三层共有扇面形石板3272726279934022nSS块，方法二：设第n环天石心块数为na，第一层共有n环，则{}na是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99nann，设nS为{}na的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为nS，2nnSS，32nnSS，下层比中层多729块，729322nnnnSSSS，3(927)2(918)2(918)(99)7292222nnnnnnnn，29729n，解得9n，32727(9927)34022nSS，故选C．3．（2019•新课标Ⅰ）记nS为等差数列{}na的前n项和．已知40S，55a，则()A．25nanB．310nanC．228nSnnD．2122nSnn【答案】A【解析】设等差数列{}na的公差为d，由40S，55a，得1146045adad，132ad，25nan，24nSnn，故选A．4．（2018•新课标Ⅰ）记nS为等差数列{}na的前n项和．若3243SSS，12a，则5(a)A．12B．10C．10D．12【答案】B【解析】nS为等差数列{}na的前n项和，3243SSS，12a，111132433(3)422adaadad，把12a，代入得3d524(3)10a．故选B．5．（2017•全国）设等差数列{}na的前n项和为nS，14a，546SSS厖，则公差d的取值范围是()A．8[1,]9B．4[1,]5C．84[,]95D．[1，0]【答案】A【解析】等差数列{}na的前n项和为nS，14a，546SSS厖，5446SSSS……，11115443542243654622adadadad……，4489dd……，解得819d剟．公差d的取值范围是[1，8]9．故选A．6．（2017•新课标Ⅰ）记nS为等差数列{}na的前n项和．若4524aa，648S，则{}na的公差为()A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】nS为等差数列{}na的前n项和，4524aa，648S，1113424656482adadad，解得12a，4d，{}na的公差为4．故选C．7．（2017•新课标Ⅲ）等差数列{}na的首项为1，公差不为0．若2a，3a，6a成等比数列，则{}na前6项的和为()A．24B．3C．3D．8【答案】A【解析】等差数列{}na的首项为1，公差不为0．2a，3a，6a成等比数列，2326aaa，2111(2)()(5)adadad，且11a，0d，解得2d，{}na前6项的和为616565661(2)2422Sad．故选A．8．（2020•上海）已知数列{}na是公差不为零的等差数列，且1109aaa，则12910aaaa__________．【答案】278【解析】根据题意，等差数列{}na满足1109aaa，即11198aadad，变形可得1ad，所以1129110119899369362729998daaaaadddaadaddd．故答案为：278．9．（2020•新课标Ⅱ）记nS为等差数列{}na的前n项和．若12a，262aa，则10S__________．【答案】25【解析】因为等差数列{}na中，12a，26422aaa，所以41a，4133daa，即1d，则1011091010(2)451252Sad．故答案为：25．10．（2020•海南）将数列{21}n与{32}n的公共项从小到大排列得到数列{}na，则{}na的前n项和为__________．【答案】232nn【解析】将数列{21}n与{32}n的公共项从小到大排列得到数列{}na，则{}na是以1为首项、以6为公差的等差数列，故它的前n项和为2(1)16322nnnnn，故答案为：232nn．11．（2019•新课标Ⅲ）记nS为等差数列{}na的前n项和．若35a，713a，则10S__________．【答案】100【解析】在等差数列{}na中，由35a，713a，得731352734aad，132541aad．则1010921011002S．故答案为：100．12．（2019•新课标Ⅲ）记nS为等差数列{}na的前n项和．若10a，213aa，则105SS__________．【答案】4【解析】设等差数列{}na的公差为d，则由10a，213aa可得，12da，1011051510()5()SaaSaa112(29)24adad11112(218)428aaaa，故答案为：4．13．（2019•北京）设等差数列{}na的前n项和为nS，若23a，510S，则5a__________，nS的最小值为__________．【答案】0，10【解析】设等差数列{}na的前n项和为nS，23a，510S，113545102adad，解得14a，1d，5144410aad，21(1)(1)19814()22228nnnnnSnadnn，4n或5n时，nS取最小值为4510SS．故答案为：0，10．14．（2019•江苏）已知数列*{}()nanN是等差数列，nS是其前n项和．若2580aaa，927S，则8S的值是__________．【答案】16【解析】设等差数列{}na的首项为1a，公差为d，则1111()(4)70989272adadadad，解得152ad．818788(5)56162dSa．故答案为：16．15．（2018•北京）设{}na是等差数列，且13a，2536aa，则{}na的通项公式为__________．【答案】63nan【解析】{}na是等差数列，且13a，2536aa，1113436aadad，解得13a，6d，1(1)3(1)663naandnn．{}na的通项公式为63nan．故答案为：63nan．16．（2018•上海）记等差数列{}na的前n项和为nS，若30a，6714aa，则7S__________．【答案】14【解析】等差数列{}na的前n项和为nS，30a，6714aa，111205614adadad，解得14a，2d，717672842142Sad．故答案为：14．17．（2018•上海）已知{}na是等差数列，若2810aa，则357aaa__________．【答案】15【解析】{}na是等差数列，2810aa，285210aaa，解得55a，3575315aaaa．故答案为：15．18．（2017•上海）若等差数列{}na的前5项的和为25，则15aa__________．【答案】10【解析】等差数列{}na的前5项的和为25，5155()252Saa，15225105aa．故答案为：10．19．（2019•北京）设{}na是等差数列，110a，且210a，38a，46a成等比数列．（1）求{}na的通项公式；（2）记{}na的前n项和为nS，求nS的最小值．【解析】（Ⅰ）{}na是等差数列，110a，且210a，38a，46a成等比数列．2324(8)(10)(6)aaa，2(22)(43)ddd，解得2d，1(1)1022212naandnn．（Ⅱ）由110a，2d，得：22(1)1112110211()224nnnSnnnn，5n或6n时，nS取最小值30．20．（2019•新课标Ⅰ）记nS为等差数列{}na的前n项和．已知95Sa．（1）若34a，求{}na的通项公式；（2）若10