20202021学年高考数学考点第三章函数概念与基本初等函数函数的单调性与最值理

函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x1，x2∈D，x1≠x2，fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在D上是增函数；对∀x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0⇔f(x)在D上是增函数．减函数类似．2．写出函数y＝x＋ax(a0)的增区间．提示(－∞，－a]和[a，＋∞)．1．（2020·新课标Ⅱ）设函数()ln|21|ln|21|fxxx，则f(x)（）A.是偶函数，且在1(,)2单调递增B.是奇函数，且在11(,)22单调递减C.是偶函数，且在1(,)2单调递增D.是奇函数，且在1(,)2单调递减【答案】D【解析】由ln21ln21fxxx得fx定义域为12xx，关于坐标原点对称，又ln12ln21ln21ln21fxxxxxfx，fx为定义域上的奇函数，可排除AC；当11,22x时，ln21ln12fxxx，ln21yxQ在11,22上单调递增，ln12yx在11,22上单调递减，fx在11,22上单调递增，排除B；当1,2x时，212ln21ln12lnln12121xfxxxxx，2121x在1,2上单调递减，lnf在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：fx在1,2上单调递减，D正确.2．（2018·北京卷）能说明“若f（x）f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．【答案】23()()2fxx（答案不唯一）【解析】对于23()()2fxx，其图象的对称轴为32x，则f（x）f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是单调函数.1．（2019•平谷区一模）下列函数中，在区间(0,)上为增函数的是()A．1yxB．ylnxC．sinyxD．2xy【答案】B【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，1yx，为反比例函数，在(0,)上为减函数，不符合题意；对于B，ylnx，为指数函数，在区间(0,)上为增函数，符合题意；对于C，sinyx，为正弦函数，在(0,)上不是单调函数，不符合题意；对于D，12()2xxy，是指数函数，在(0,)上为减函数，不符合题意；故选B．2．（2019•西城区一模）下列函数中，值域为R且在区间(0,)上单调递增的是()A．22yxxB．12xyC．31yxD．(1)||yxx【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，222(1)1yxxx，其值域为[1，)，不符合题意；对于B，12xy，其值域为(0,)，不符合题意；对于C，31yx，值域为R且在区间(0,)上单调递增，符合题意；对于D，22,0(1)||,0xxxyxxxxx…，在区间1(0,)2上为减函数，不符合题意；故选C．3．（2016•安庆三模）若函数2()||2fxxax，xR在区间[3，)和[2，1]上均为增函数，则实数a的取值范围是()A．11[3，3]B．[6，4]C．[3，22]D．[4，3]【答案】B【解析】2()||2fxxax，22()()||2||2()fxxaxxaxfx，()fx为实数集上的偶函数，由2()||2fxxax在区间[3，)和[2，1]上均为增函数，知()fx在[3，)上为增函数，在[1，2]上为减函数，函数22(0)yxaxx的对称轴[2,3]2ax，得[6a，4]．故选B．4．（2016•天津二模）若221,0()(1)(1),0axaxxfxaaex…，在定义域(,)上是单调函数，则a的取值范围是()A．(1,2]B．[2,1)[2,)C．(,2](1,2]D．2(0,)[2,)3【答案】C【解析】()fx在定义域(,)上是单调函数时，①函数的单调性是增函数时，可得当0x时，22(1)11axaeax„，即211a„，解之得22a剟0x…时，21yax是增函数，0a又0x时，2(1)axae是增函数，210a，得1a或1a因此，实数a的取值范围是：12a„②函数的单调性是减函数时，可得当0x时，22(1)11axaeax…，即211a…，解之得2a„或2a…．0x…时，21yax是减函数，0a又0x时，2(1)axae是减函数，210a，得1a或1a因此，实数a的取值范围是：2a„综上所述，得(,2](1,2]a故选C．5．（2020春•天津期末）下列函数中，在(0,)上为增函数的是()A．()3fxxB．2()3fxxxC．1()fxxD．()||fxx【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，()3fxx为一次函数，在(0,)上为减函数，不符合题意；对于B，2()3fxxx为二次函数，在3(0,)2上为减函数，不符合题意；对于C，1()fxx为反比例函数，在(0,)上为增函数，符合题意；对于D，()||fxx，当0x时，()fxx，则函数()fx在(0,)上为减函数，不符合题意；故选C．6．（2019秋•武昌区期末）下列函数在(0,2)上是增函数的是()A．2yxB．12yxC．21()2xyD．12log(2)yx【答案】D【解析】对于A，函数在(0,2)递减，不合题意；对于B，函数在(0,2)递减，不合题意；对于C，函数在(0,2)递减，不合题意；对于D，函数在(0,2)递增，符合题意；故选D．7．（2020春•郑州期末）函数2()2fxxlnx的单调减区间是()A．(0,1)B．(1,)C．(,1)D．(1,1)【答案】A【解析】函数2()2(0)fxxlnxx的导数为2()2fxxx，令()0fx，解得01x．即有单调减区间为(0,1)．故选A．8．（2020•北京模拟）下列函数中，在(0,)内单调递增，并且是偶函数的是()A．2(1)yxB．cos1yxC．||2ylgxD．2xy【答案】C【解析】A．2(1)yx的对称轴为1x，为非奇非偶函数，不满足条件．B．cos1yx是偶函数，但在(0,)内不是单调函数，不满足条件．C．||2ylgx为偶函数，在(0,)内单调递增，满足条件，D．2xy，(0,)内单调递增，为非奇非偶函数，不满足条件．故选C．9．（2019春•武邑县校级期中）函数()afxxx在区间(2,)上单调递增，那么实数a的取值范围是()A．02a„B．04a„C．4a…D．4a„【答案】D【解析】根据题意，函数()afxxx，其导数222()1axafxxx，若()afxxx在区间(2,)上单调递增，则22()0xafxx…在(2,)上恒成立，则有2ax„在(2,)上恒成立，必有4a„，故选D．10．（2019秋•东海县期中）函数1()fxx的单调减区间是()A．(0,)B．(,0)C．(，0)(0，)D．(,0)和(0,)【答案】D【解析】根据题意，函数1()fxx，其定义域为{|0}xx其导数21()fxx，分析可得：当0x时，()0fx，即函数()fx在(0,)上为减函数，当0x时，()0fx，即函数()fx在(,0)上为减函数；综合可得：函数1()fxx的单调减区间是(,0)和(0,)；故选D．11．（2019秋•钟祥市校级期中）函数||1yx的单调递减区间为()A．(0,)B．(,0)C．(,1)D．(1,)【答案】B【解析】当0x…时，||11yxx，此时函数为增函数，当0x时，||11yxx，此时函数为减函数，即函数的单调递减区间为(,0)，故选B．12．（2019秋•金凤区校级期中）下列函数在(0,)上单调递增的是()A．2||yxB．1yxC．1()2xyD．2yxx【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，2,02||2,0xxyxxx…，在(0,)上单调递增，符合题意；对于B，1yx，为反比例函数，在(0,)上单调递减，不符合题意；对于C，1()2xy，为指数函数，在(0,)上单调递减，不符合题意；对于D，2yxx，为二次函数，在1(0,)2上单调递减，不符合题意；故选A．13．（2019秋•赫章县期中）下列函数在[1，)上单调递减的是()A．2()3fxxxB．()14xfxC．()(2)fxlgxD．()|21|fxx【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，2()3fxxx，为二次函数，其开口向下且对称轴为32x，在[1，)上单调递减，符合题意；对于B，()14xfx，在R上为增函数，不符合题意；对于C，()(2)fxlgx，在R上为增函数，不符合题意；对于D，121,2()|21|121,2xxfxxxx…，在1(1,)2上为增函数，不符合题意；故选A．14．（2019秋•香坊区校级月考）已知函数21()2xfxx，则函数()yfx的单调增区间是()A．(,)B．(,2)C．(，2)(2，)D．(,2)和(2．)【答案】D【解析】根据题意，函数213()222xfxxx，其导数23()(2)fxx，易得在区间(,2)和(2,)上，()0fx，即函数()fx在区间(,2)和(2．)为增函数，故选D．15．（2019春•温州期中）函数(21)ymxb在R上是减函数．则()A．12mB．12mC．12mD．12m【答案】B【解析】根据题意，函数(21)ymxb在R上是减函数，则有210m，解可得12m，故选B．16．（2019•湖南模拟）定义在R的函数3()fxxm与函数32()()gxfxxxkx在[1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是()A．(，2]B．[2，)C．[2，2]D．(，2][2，)【答案】B【解析】根据题意，函数3()fxxm，