20202021学年高考数学考点第五章三角函数解三角形任意角蝗制及任意角的三角函数理

1任意角、弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．(3)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝π180rad，1rad＝180π°.(3)扇形的弧长公式：l＝α·r，扇形的面积公式：S＝12lr＝12α·r2.其中r是半径，α(0α2π)为弧所对圆心角．3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx(x≠0)．三个三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanα{α|α≠kπ＋π2，k∈Z}＋－＋－概念方法微思考1．总结一下三角函数值在各象限符号为正的规律．提示一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？提示设点P到原点O的距离为r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)．21．（2020•新课标Ⅰ）已知(0,)，且3cos28cos5，则sin()A．53B．23C．13D．59【答案】A【解析】由3cos28cos5，得23(2cos1)8cos50，即23cos4cos40，解得cos2（舍去），或2cos3．(0,)，(2，)，则2225sin11()33cos．故选A．2．（2019•全国）已知tan2A，则2sin2(1cos2AcosAA)A．32B．52C．3D．5【答案】B【解析】tan2A，则222sin22sincos2tan151cos2222AcosAAAcosAAAcosA．故选B．3．（2019•新课标Ⅱ）已知(0,)2，2sin2cos21，则sin()A．15B．55C．33D．255【答案】B【解析】2sin2cos21，可得：24sincos2cos，(0,)2，sin0，cos0，cos2sin，22222sincossin(2sin)5sin1，解得：5sin5．故选B．34．（2018•新课标Ⅲ）若1sin3，则cos2()A．89B．79C．79D．89【答案】B【解析】1sin3，217cos212sin1299．故选B．5．（2017•山东）已知3cos4x，则cos2(x)A．14B．14C．18D．18【答案】D【解析】根据余弦函数的倍角公式2cos22cos1xx，且3cos4x，231cos22()148x．故选D．6．（2017•新课标Ⅲ）已知4sincos3，则sin2()A．79B．29C．29D．79【答案】A【解析】4sincos3，216(sincos)12sincos1sin29，7sin29，故选A．7．（2020•新课标Ⅱ）若为第四象限角，则()A．cos20B．cos20C．sin20D．sin20【答案】D【解析】为第四象限角，则222kk，kZ，则424kk，42是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，sin20，故选D．8．（2020•新课标Ⅲ）已知2tantan()74，则tan()A．2B．1C．1D．2【答案】D【解析】由2tantan()74，得tan12tan71tan，即22tan2tantan177tan，得22tan8tan80，即2tan4tan40，即2(tan2)0，则tan2，故选D．9．（2020•新课标Ⅲ）已知sinsin()13，则sin()(6)A．12B．33C．23D．22【答案】B【解析】sinsin()13，13sinsincos122，即33sincos122，得133(cossin)122，即3sin()16，得3sin()63故选B．10．（2018•新课标Ⅱ）若()cossinfxxx在[0，]a是减函数，则a的最大值是()A．4B．2C．34D．【答案】C5【解析】()cossin(sincos)2sin()4fxxxxxx，由22242kxk剟，kZ，得32244kxk剟，kZ，取0k，得()fx的一个减区间为[4，3]4，由()fx在[0，]a是减函数，得34a„．则a的最大值是34．故选C．11．（2018•新课标Ⅱ）若()cossinfxxx在[a，]a是减函数，则a的最大值是()A．4B．2C．34D．【答案】A【解析】()cossin(sincos)2sin()4fxxxxxx，由22242kxk剟，kZ，得32244kxk剟，kZ，取0k，得()fx的一个减区间为[4，3]4，由()fx在[a，]a是减函数，得434aa…„，4a„．则a的最大值是4．故选A．12．（2017•全国）cos20cos25sin20sin25()A．22B．12C．0D．22【答案】A【解析】因为cos20cos25sin20sin25cos(2025)622．故选A．13．（2020•新课标Ⅱ）若2sin3x，则cos2x__________．【答案】19【解析】2sin3x，2221cos212sin12()39xx．故答案为：19．14．（2020•江苏）已知22sin()43，则sin2的值是__________．【答案】13【解析】因为22sin()43，则21cos(2)1sin222sin()4223，解得1sin23，故答案为：13．15．（2020•浙江）已知tan2，则cos235，tan()4__________．【答案】35；13【解析】tan2，则2222221143cos21145cossintancossintan．tantan2114tan()412131tantan4．故答案为：35；13．16．（2020•上海）已知3sin22sinxx，(0,)x，则x__________．【答案】1arccos3【解析】3sin22sinxx，6sincos2sinxxx，7(0,)x，sin0x，1cos3x，故1arccos3x．故答案为：1arccos3．17．（2016•四川）22cossin88__________．【答案】22【解析】22cossin882cos(2)cos842．故答案为：22．18．（2018•新课标Ⅱ）已知sincos1，cossin0，则sin()__________．【答案】12【解析】sincos1，两边平方可得：22sin2sincoscos1，①，cossin0，两边平方可得：22cos2cossinsin0，②，由①②得：22(sincoscossin)1，即22sin()1，2sin()1．1sin()2．故答案为：12．19．（2018•新课标Ⅱ）已知51tan()45，则tan__________．【答案】32【解析】51tan()45，1tan()45，8则11tan()tan1563544tantan()14451421tan()tan11445，故答案为：32．20．（2017•江苏）若1tan()46．则tan__________．【答案】75【解析】tantantan114tan()4tan161tantan46tan6tan1，解得7tan5，故答案为：75．21．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若1sin3，则cos()__________．【答案】79【解析】方法一：角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，1sinsin3，coscos，22227cos()coscossinsincossin2sin1199方法二：1sin3，当在第一象限时，22cos3，，角的终边关于y轴对称，在第二象限时，1sinsin3，22coscos3，2222117cos()coscossinsin333391:sin3，当在第二象限时，22cos3，9，角的终边关于y轴对称，在第一象限时，1sinsin3，22coscos3，2222117cos()coscossinsin33339综上所述7cos()9，故答案为：79．22．（2017•新课标Ⅰ）已知(0,)2，tan2，则cos()4__________．【答案】31010【解析】(0,)2，tan2，sin2cos，22sincos1，解得25sin5，5cos5，52252310cos()coscossinsin444525210，故答案为：31010．23．（2018•浙江）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点3(5P，4)5．（Ⅰ）求sin()的值；（Ⅱ）若角满足5sin()13，求cos的值．【解析】（Ⅰ）角的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点3(5P，4)5．35x，45y，2234||()()155rOP，4sin()sin5yr；（Ⅱ）由35x，45y，||1rOP，得4sin5，3cos5，又由5sin()13，10得22512cos()1()1()1313sin，则1235456coscos[()]cos()cossin()sin()()13513565，或1235416coscos[()]cos()cossin()sin()()13513565