20202021学年高考数学考点第五章三角函数解三角形简单的三角恒等变换理

1简单的三角恒等变换1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))；(2)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))；(3)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))；(4)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))；(5)tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ(T(α－β))；(6)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ(T(α＋β))．2．二倍角公式(1)基本公式：①sin2α＝2sinαcosα；②cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；③tan2α＝2tanα1－tan2α.(2)公式变形：由cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2；sin2α＝1－cos2α2；升幂公式：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.概念方法微思考1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？提示诱导公式可以看成和差公式中β＝k·π2(k∈Z)时的特殊情形．2．怎样研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的函数的性质？提示先根据辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2·sin(x＋φ)，将f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再结合图象研究函数的性质．3．思考求α2的正弦、余弦、正切公式．提示(1)sinα2＝±1－cosα2；(2)cosα2＝±1＋cosα2；2(3)tanα2＝±1－cosα1＋cosα＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.1．（2020•新课标Ⅰ）已知(0,)，且3cos28cos5，则sin()A．53B．23C．13D．59【答案】A【解析】由3cos28cos5，得23(2cos1)8cos50，即23cos4cos40，解得cos2（舍去），或2cos3．(0,)，(2，)，则2225sin11()33cos．故选A．2．（2019•全国）已知tan2A，则2sin2(1cos2AcosAA)A．32B．52C．3D．5【答案】B【解析】tan2A，则222sin22sincos2tan151cos2222AcosAAAcosAAAcosA．故选B．3．（2019•新课标Ⅱ）已知(0,)2，2sin2cos21，则sin()A．15B．55C．33D．255【答案】B【解析】2sin2cos21，可得：24sincos2cos，(0,)2，sin0，cos0，cos2sin，22222sincossin(2sin)5sin1，解得：5sin5．3故选B．4．（2018•新课标Ⅲ）若1sin3，则cos2()A．89B．79C．79D．89【答案】B【解析】1sin3，217cos212sin1299．故选B．5．（2017•山东）已知3cos4x，则cos2(x)A．14B．14C．18D．18【答案】D【解析】根据余弦函数的倍角公式2cos22cos1xx，且3cos4x，231cos22()148x．故选D．6．（2017•新课标Ⅲ）已知4sincos3，则sin2()A．79B．29C．29D．79【答案】A【解析】4sincos3，216(sincos)12sincos1sin29，7sin29，故选A．7．（2020•新课标Ⅱ）若为第四象限角，则()A．cos20B．cos20C．sin20D．sin20【答案】D【解析】为第四象限角，则222kk，kZ，4则424kk，2是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，sin20，故选D．8．（2020•新课标Ⅲ）已知2tantan()74，则tan()A．2B．1C．1D．2【答案】D【解析】由2tantan()74，得tan12tan71tan，即22tan2tantan177tan，得22tan8tan80，即2tan4tan40，即2(tan2)0，则tan2，故选D．9．（2020•新课标Ⅲ）已知sinsin()13，则sin()(6)A．12B．33C．23D．22【答案】B【解析】sinsin()13，13sinsincos122，即33sincos122，得133(cossin)122，即3sin()16，得3sin()63故选B．10．（2018•新课标Ⅱ）若()cossinfxxx在[0，]a是减函数，则a的最大值是()A．4B．2C．34D．5【答案】C【解析】()cossin(sincos)2sin()4fxxxxxx，由22242kxk剟，kZ，得32244kxk剟，kZ，取0k，得()fx的一个减区间为[4，3]4，由()fx在[0，]a是减函数，得34a„．则a的最大值是34．故选C．11．（2018•新课标Ⅱ）若()cossinfxxx在[a，]a是减函数，则a的最大值是()A．4B．2C．34D．【答案】A【解析】()cossin(sincos)2sin()4fxxxxxx，由22242kxk剟，kZ，得32244kxk剟，kZ，取0k，得()fx的一个减区间为[4，3]4，由()fx在[a，]a是减函数，得434aa…„，4a„．则a的最大值是4．故选A．12．（2017•全国）cos20cos25sin20sin25()A．22B．12C．0D．22【答案】A【解析】因为cos20cos25sin20sin256cos(2025)22．故选A．13．（2020•新课标Ⅱ）若2sin3x，则cos2x__________．【答案】19【解析】2sin3x，2221cos212sin12()39xx．故答案为：19．14．（2020•江苏）已知22sin()43，则sin2的值是__________．【答案】13【解析】因为22sin()43，则21cos(2)1sin222sin()4223，解得1sin23，故答案为：13．15．（2020•浙江）已知tan2，则cos235，tan()4__________．【答案】35；13【解析】tan2，则2222221143cos21145cossintancossintan．tantan2114tan()412131tantan4．故答案为：35；13．16．（2020•上海）已知3sin22sinxx，(0,)x，则x__________．【答案】1arccos3【解析】3sin22sinxx，76sincos2sinxxx，(0,)x，sin0x，1cos3x，故1arccos3x．故答案为：1arccos3．17．（2016•四川）22cossin88__________．【答案】22【解析】22cossin882cos(2)cos842．故答案为：22．18．（2018•新课标Ⅱ）已知sincos1，cossin0，则sin()__________．【答案】12【解析】sincos1，两边平方可得：22sin2sincoscos1，①，cossin0，两边平方可得：22cos2cossinsin0，②，由①②得：22(sincoscossin)1，即22sin()1，2sin()1．1sin()2．故答案为：12．19．（2018•新课标Ⅱ）已知51tan()45，则tan__________．【答案】32【解析】51tan()45，81tan()45，则11tan()tan1563544tantan()14451421tan()tan11445，故答案为：32．20．（2017•江苏）若1tan()46．则tan__________．【答案】75【解析】tantantan114tan()4tan161tantan46tan6tan1，解得7tan5，故答案为：75．21．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若1sin3，则cos()__________．【答案】79【解析】方法一：角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，1sinsin3，coscos，22227cos()coscossinsincossin2sin1199方法二：1sin3，当在第一象限时，22cos3，，角的终边关于y轴对称，在第二象限时，1sinsin3，22coscos3，2222117cos()coscossinsin333391:sin3，9当在第二象限时，22cos3，，角的终边关于y轴对称，在第一象限时，1sinsin3，22coscos3，2222117cos()coscossinsin33339综上所述7cos()9，故答案为：79．22．（2017•新课标Ⅰ）已知(0,)2，tan2，则cos()4__________．【答案】31010【解析】(0,)2，tan2，sin2cos，22sincos1，解得25sin5，5cos5，52252310cos()coscossinsin444525210，故答案为：31010．23．（2018•浙江）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点3(5P，4)5．（Ⅰ）求sin()的值；（Ⅱ）若角满足5sin()13，求cos的值．【解析】（Ⅰ）角的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点3(5P，4)5．35x，45y，2234||()()155rOP，4sin()sin5yr；（Ⅱ）由35x，45y，||1rOP，得4sin5，3cos5，10又由5sin()13，得22512cos()1()1()1313sin，则1235456coscos[()]cos()cossin()sin()()13513565，或1235416coscos[()]cos()cossin()sin()()13513565