20202021学年高考数学考点第十二章坐标系与参数方程不等式选讲简单的极坐标方程理

1简单的极坐标方程极坐标1.公式：（1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点直角坐标极坐标互化公式已知极坐标化成直角坐标已知直角坐标化成极坐标2.极坐标与直角坐标的转化（1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路A：直角坐标化为极坐标的步骤①运用②在内由求时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．B::极坐标化为直角坐标的步骤，运用（2）直线：直线的极坐标与直角坐标转化的思路A：直角坐标转化成极坐标思路：直接利用公式，将式子里面的x和y用sincos和转化，最后整理化简即可。例如：x+3y-2=0：用公式将x和y转化，即02-sin3cosB：极坐标转化成直角坐标类型①：直接转化---直接利用公式转化例如：ρ(2cosθ＋sinθ)＝1思路：第一步：去括号，ρ2cosθ＋ρsinθ＝1第二步：用公式转化，即12yxM,xy,cossinxy222tan0xyyxx,xy,222tan0xyyxx0,2tan0yxx,,xycossinxycossinxycossinxy2类型②：利用三角函数的两角和差公式，即2sin2coskk或思路：第一步：利用两角和差公式把sin(θ±α)或cosθ±α)化开，特殊角的正余弦值化成数字，整理化简第二步：利用公式转化例如：直线l的极坐标方程是2sin333解：第一步：利用两角和差公式把sin(θ±α)或cosθ±α)化开特殊角的正余弦值化成数字，整理化简，即第二步：利用公式转化0333,33333cos3sinyxxy即类型③：角可以不是特殊角）为倾斜角，可以是特殊（，该直线经过原点（极点），对应的直角坐标方程为kxx即ytanαy例如：思路：直接代入033yxxyx，33yx33x即y3tany(注：直线的直角坐标方程一般要求写成一般式：Ax+By+C=0)三、曲线极坐标与直角坐标互换（一）圆的直角与极坐标互换1.圆的极坐标转化成直角坐标类型一：sincos详解：一般sin,cos要转化成x、y都需要跟搭配，一对一搭配。所以两边同时乘以，即0--,sincos22222yxyxyxyx即类型二：2cossinxycossinxy(0)33没有三角函数时，可以考虑两边同时平方44222yx即2.圆的直角坐标转化成极坐标3)1()4(22yx解题方法一：拆开--公式代入：014sin2cos801428031216822222yxyxyyxx即解题方法二：代入-拆-合：031sin2sin16cos8cos3)1sin()4cos(222222即014sin2cos8014sin2cos8)sin(cos2222即1．（2018•北京）在极坐标系中，直线cossin(0)aa与圆2cos相切，则a__________．【答案】12【解析】圆2cos，转化成：22cos，进一步转化成直角坐标方程为：22(1)1xy，把直线(cossin)a的方程转化成直角坐标方程为：0xya．由于直线和圆相切，所以：利用圆心到直线的距离等于半径．则：|1|12a，解得：12a．0a则负值舍去．故：12a．故答案为：12．2．（2017•北京）在极坐标系中，点A在圆22cos4sin40上，点P的坐标为(1,0)，则||AP的最小值为__________．【答案】1【解析】设圆22cos4sin40为圆C，将圆C的极坐标方程化为：4222440xyxy，再化为标准方程：22(1)(2)1xy；如图，当A在CP与C的交点Q处时，||AP最小为：||||211minCAPCPr，故答案为：1．3．（2017•天津）在极坐标系中，直线4cos()106与圆2sin的公共点的个数为__________．【答案】2【解析】直线4cos()106展开为：314(cossin)1022，化为：23210xy．圆2sin即22sin，化为直角坐标方程：222xyy，配方为：22(1)1xy．圆心(0,1)C到直线的距离223314(23)2dR．直线4cos()106与圆2sin的公共点的个数为2．故答案为：2．4．（2020•江苏）在极坐标系中，已知1(A，)3在直线1:cos2上，点2(B，)6在圆:4sinC上（其中0…，02)„．（1）求1，2的值；（2）求出直线l与圆C的公共点的极坐标．【解析】（1）1(A，)3在直线1:cos2上，51cos23，解得14．点2(B，)6在圆:4sinC上，24sin6，解得22或20时，点2(,)6B表示极点，而圆C经过极点，所以满足条件，极点的极坐标表示为0，极角为任意角．故22或0．（2）由直线l与圆C得，方程组cos24sin，则sin21．[0，2]，22，4．4sin224．故公共点的极坐标为(22,)4．5．（2020•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为,(kkxcosttysint为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4cos16sin30．（1）当1k时，1C是什么曲线？（2）当4k时，求1C与2C的公共点的直角坐标．【解析】（1）当1k时，曲线1C的参数方程为cossinxtyt，(t为参数），消去参数t，可得221xy，故1C是以原点为圆心，以1为半径的圆；（2）法一：当4k时，414:xcostCysint，消去t得到1C的直角坐标方程为1xy，2C的极坐标方程为4cos16sin30可得2C的直角坐标方程为41630xy，141630xyxy，解得1414xy．1C与2C的公共点的直角坐标为11(,)44．6法二：当4k时，曲线1C的参数方程为44xcostysint，(t为参数），两式作差可得44222cossincossin2cos1xyttttt，212xycost，得421()2xyxcost，整理得：2()2()10(01xyxyx剟，01)y剟．由4cos16sin30，又cosx，siny，41630xy．联立2()2()1041630xyxyxy，解得169364936xy（舍)，或1414xy．1C与2C的公共点的直角坐标为11(,)44．6．（2019•江苏）在极坐标系中，已知两点(3,)4A，(2B，)2，直线l的方程为sin()34．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．【解析】（1）设极点为O，则在OAB中，由余弦定理，得2222?cosABOAOBOAOBAOB，223(2)232cos()524AB；（2）由直线l的方程sin()34，知直线l过(32，)2，倾斜角为34，又(2B，)2，点B到直线l的距离为3(322)?()242sin．7．（2019•新课标Ⅲ）如图，在极坐标系Ox中，(2,0)A，(2B，)4，(2C，3)4，(2,)D，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2，(1,)，曲线1M是弧AB，曲线2M是弧BC，曲线3M是弧CD．（1）分别写出1M，2M，3M的极坐标方程；7（2）曲线M由1M，2M，3M构成，若点P在M上，且||3OP，求P的极坐标．【解析】（1）由题设得，弧AB，BC，CD所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，2cos，则1M的极坐标方程为2cos，(0)4剟，2M的极坐标方程为2sin，3()44剟，3M的极坐标方程为2cos，3()4剟，（2）设(,)P，由题设及（1）知，若04剟，由2cos3得3cos2，得6，若344剟，由2sin3得3sin2，得3或23，若34剟，由2cos3得3cos2，得56，综上P的极坐标为(3，)6或(3，)3或(3，2)3或(3，5)6．8．（2019•新课标Ⅱ）在极坐标系中，O为极点，点0(M，00)(0)在曲线:4sinC上，直线l过点(4,0)A且与OM垂直，垂足为P．（1）当03时，求0及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．【解析】（1）当03时，04sin233，在直线l上任取一点(,)，则有cos()23，故l的极坐标方程为有cos()23；（2）设(,)P，则在RtOAP中，有4cos，P在线段OM上，[4，]2，故P点轨迹的极坐标方程为4cos，[4，]2．89．（2018•江苏）在极坐标系中，直线l的方程为sin()26，曲线C的方程为4cos，求直线l被曲线C截得的弦长．【解析】曲线C的方程为4cos，24cos，224xyx，曲线C是圆心为(2,0)C，半径为2r得圆．直线l的方程为sin()26，13cossin222，直线l的普通方程为：34xy．圆心C到直线l的距离为2113d，直线l被曲线C截得的弦长为22224123rd．10．（2018•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为||2ykx．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos30．（1）求2C的直角坐标方程；（2）若1C与2C有且仅有三个公共点，求1C的方程．【解析】（1）曲线2C的极坐标方程为22cos30．转换为直角坐标方程为：22230xyx，转换为标准式为：22(1)4xy．（2）由于曲线1C的方程为||2ykx，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点(0,2)．由于该射线与曲线2C的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线2ykx的距离等于半径2．故：2|2|21kk，或2|2|21kk解得：43k或0，9当0k时，不符合条件，故舍去，同理解得：43k或0经检验，直线423yx与曲线2C．有两个交点．故1C的方程为：4||23yx．11．（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为cos4．（1）M为曲线1C上的动点，点P在线段OM上，且满足||||16OMOP，求点P的轨迹2C的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为(2,)3，点B在曲线2C上，求OAB面积的最大值．【解析】