§1.6-曲线在一点的标准展开

§1.6曲线在一点的标准展开一．曲线的局部规范形式按照Taylor展开式的基本思想，曲线的位置向量函数在所指定的任意点邻近都可以用适当次数的多项式向量函数来逼近．对于C3弧长s参数化曲线C:rr(s)，任取其上一点P0:r(s0)，不妨设s00，则有Peano余项形式的Taylor展开式(5.1)　　r(s)r(0)sr(0)s22r(0)s33r(0)o(s3).其中余项o(s3)是s3的高阶无穷小向量．若C无逗留点，则上式可用Frenet标架表出．事实上，记{r(0);T(0),N(0),B(0)}{r0;T0,N0,B0},(0)0,(0)0，则易知有一．曲线的局部规范形式对于C3弧长s参数化曲线C:rr(s)，任取其上一点P0:r(s0)，不妨设s00，则有Taylor展开式(5.1)　　r(s)r(0)sr(0)s22r(0)s33r(0)o(s3).若C无逗留点，则上式可用Frenet标架表出．事实上，记{r(0);T(0),N(0),B(0)}{r0;T0,N0,B0},(0)0,(0)0，则易知有(5.2)r(0)T0,r(0)0N0，r(0)(0)N00[0T00B0]．此式说明：通过对线性无关向量组{r(s),r(s),r(s)}进行规范的Schmidt正交化，所得到的标准单位正交基实际上就是Frenet标架基向量组{T(s),N(s),B(s)}．一．曲线的局部规范形式对于C3弧长s参数化曲线C:rr(s)，任取其上一点P0:r(s0)，不妨设s00，则有Taylor展开式(5.1)　　r(s)r(0)sr(0)s22r(0)s33r(0)o(s3).若C无逗留点，则(5.2)r(0)T0,r(0)0N0，r(0)(0)N00[0T00B0]．取{r0;T0,N0,B0}为E3的一个新的单位正交右手标架，所建立的新直角坐标系坐标记为(x*,y*,z*)，则此时曲线C的参数方程转化为r*r*(s)(x*(s),y*(s),z*(s))x*(s)T0+y*(s)N0+z*(s)B0其中r*(s)r(s)r0．一．曲线的局部规范形式由此，将(5.2)式代入(5.1)式，C的分量形式即为(5.1)　　r(s)r(0)sr(0)s22r(0)s33r(0)o(s3).(5.2)r(0)T0,r(0)0N0,r(0)(0)N00[0T00B0]．r*r*(s)r(s)r0(x*(s),y*(s),z*(s))x*(s)T0+y*(s)N0+z*(s)B0．(5.3)　　x*s026s3ox*(s3)，y*02s2(0)6s3oy*(s3)，z*006s3oz*(s3)，一．曲线的局部规范形式其中余项ox*(s3),oy*(s3),oz*(s3)分别是s3的高阶无穷小.此式称为曲线C在点P0处的标准展开或局部规范形式，或称为Bouquet公式．对于挠曲线，其局部规范形式的主要部分确定了一条三次多项式曲线——曲线C在P0点的局部近似曲线：C*:`r*(s)(s,(0/2)s2,(00/6)s3)．(5.3)　　x*s026s3ox*(s3)，y*02s2(0)6s3oy*(s3)，z*006s3oz*(s3)，二．曲线的局部近似曲线挠曲线C在P0点的局部近似曲线C*:`r*(s)(s,(0/2)s2,(00/6)s3)．直接计算表明，其位置向量的导数在P0点与曲线C具有相同的取值．进一步，曲线C*与曲线C在P0点具有相同的Frenet标架以及相同的曲率值和挠率值（习题）；这说明它们的几何行为在P0点附近也是很接近的——在P0点的局部近似．注意：曲线C*与曲线C的弧长参数并不一定一致（习题），只是上述各取值相同之处一定包含着所考虑的点P0而已．二．曲线的局部近似曲线但无论如何，从逼近的角度去看，近似曲线的局部形状已经足以反映出原有挠曲线的局部形状．为观察近似曲线C*在P0点附近的图形，可以通过观察其向Frenet标架坐标面上的投影曲线的图形而进行，从而得到其基本特征．B0投影曲线r0C*N0T0图2-8挠曲线C在P0点的局部近似曲线C*:`r*(s)(s,(0/2)s2,(00/6)s3)．曲线C*与曲线C的弧长参数并不一定一致．曲线的局部近似图形向密切平面上的投影曲线为抛物线B0投影曲线r0C*N0T0图2-8y*02x*2，z*0；C*:`r*(s)(s,(0/2)s2,(00/6)s3)．为观察近似曲线C*在P0点附近的图形，可以通过观察其向Frenet标架坐标面上的投影曲线的图形而进行，从而得到其基本特征．曲线的局部近似图形向从切平面的投影曲线为立方抛物线B0投影曲线r0C*N0T0图2-8z*006x*3，y*0；向法平面的投影曲线为半立方抛物线x*0，y*02s2，z*006s3．C*:`r*(s)(s,(0/2)s2,(00/6)s3)．曲线的局部近似图形后面二者的平面图形走向显然与挠率的符号有关；其立体投影图形也可以仿照图2-8做出（自己练习）．类似于图2-7所示的局部情形，当00时，近似曲线和原曲线都是从密切平面“下方”“右旋上升”穿过法平面和密切平面而去．B0投影曲线r0C*N0T0图2-8C*:`r*(s)(s,(0/2)s2,(00/6)s3)．B(t)法平面Cr(t)N(t)密切平面T(t)从切平面O图2-7图2-9示意了当00时，近似曲线和原曲线都是从密切平面“上方”“右旋下降”穿过法平面和密切平面而去．此时曲线的局部基本状况分别类似于右旋上升的圆柱螺线和右旋下降的圆柱螺线．并且主法向量总是指向原曲线和近似曲线“凹”的一侧，曲线局部也总是落在这一侧．曲线的局部近似图形B(t)法平面Cr(t)N(t)密切平面T(t)从切平面OB0法平面Cr0N0密切平面T0从切平面O当00时，近似曲线和原曲线都是从密切平面“下方”“右旋上升”穿过法平面和密切平面而去．三．曲线的切触为了比较两条曲线在某个局部的接近程度，通常为了方便而将所考虑的一对对应点视为两条曲线的公共点．如果还想知道这两条曲线的位置差异程度，那么，引进所谓切触及其阶数的概念将是方便的．设相交于点P0的曲线C:r(s)和曲线C*:r*(s)同时以s为弧长参数，并且不妨设OP0r(s0)r*(s0)，则两条曲线上的点的对应关系规定为取相同的参数值，几何意义即为对应点到公共交点P0的弧段具有相同的有向长度．此时，对应点之间在E3中的距离若为它们到交点P0的弧段长度的高阶无穷小，则称两条曲线C和C*在点P0切触.三．曲线的切触比较两条曲线在某个局部的接近程度．设C:r(s)和C*:r*(s)同时以s为弧长参数，并且OP0r(s0)r*(s0)，点的对应关系规定为取相同的参数值；对应点之间在E3中的距离若为它们到交点P0的弧段长度的高阶无穷小，即则称两条曲线C和C*在点P0切触.若正整数n使limss0r(s)r*(s)ss00，则称两条曲线C和C*在点P0有n阶切触（或n阶密切）．limss0r(s)r*(s)(ss0)n0，limss0r(s)r*(s)(ss0)n+10，三．曲线的切触(5.3)式和(5.4)式说明挠曲线及其近似曲线有至少二阶切触．(5.1)　　r(s)r(0)sr(0)s22r(0)s33r(0)o(s3).从(5.1)式和(5.2)式还可以看到，相切的两条曲线若在切点具有相同的非零曲率值和相同的有向密切平面，则它们在切点有至少二阶切触．x*s026s3ox*(s3)，y*02s2(0)6s3oy*(s3)，z*006s3oz*(s3)，三．曲线的切触(5.3)式和(5.4)式说明挠曲线及其近似曲线有至少二阶切触．从(5.1)式和(5.2)式还可以看到，相切的两条曲线若在切点具有相同的非零曲率值和相同的有向密切平面，则它们在切点有至少二阶切触．由此，密切平面上存在以曲率半径为半径的圆周与原曲线有至少二阶切触；称该圆周为原曲线在切触点的曲率圆周，称曲率圆周的圆心为原曲线的曲率中心．曲线与曲面的接近程度也可以用同样的方法进行考察．