概率密度函数的估计

第四章概率密度函数的估计概率密度估计的基础知识参数估计理论–极大似然估计（MLE）–贝叶斯估计（或称最大后验估计）–贝叶斯学习非参数估计理论–密度估计–Parzen窗估计–K近邻估计（KNE）§4-1概率密度估计的基础知识贝叶斯分类器中只要知道先验概率、条件概率或后验概概率P(ωi),P(x/ωi),P(ωi/x)就可以设计分类器了。现在来研究如何用已知训练样本的信息去估计P(ωi),P(x/ωi),P(ωi/x)一．参数估计与非参数估计参数估计：先假定研究的问题具有某种数学模型，如正态分布，二项分布，再用已知类别的学习样本估计里面的参数。非参数估计：不假定数学模型，直接用已知类别的学习样本的先验知识直接估计数学模型。二．监督参数估计与非监督参数估计监督参数估计：样本所属的类别及类条件总体概率概率密度函数的形式已知，而表征概率密度函数的某些参数是未知的。目的在于：由已知类别的样本集对总体分布的某些参数进行统计推断，此种情况下的估计问题称为监督参数估计。非监督参数估计：已知总体概率密度函数形式但未知样本所属类别，要求推断出概率密度函数的某些参数，称这种推断方法为非监督情况下的参数估计。注：监督与非监督是针对样本所属类别是已知还是未知而言的。三.参数估计的基本概念1.统计量：样本中包含着总体的信息，总希望通过样本集把有关信息抽取出来。也就是说，针对不同要求构造出样本的某种函数，该函数称为统计量。2.参数空间：在参数估计中，总假设总体概率密度函数的形式已知，而未知的仅是分布中的参数，将未知参数记为，于是将总体分布未知参数的全部可容许值组成的集合称为参数空间，记为。3.点估计、估计量和估计值：点估计问题就是构造一个统计量作为参数的估计，在统计学中称为的估计量。若是属于类别的几个样本观察值，代入统计量d就得到对于第i类的的具体数值，该数值就称为的估计值。1,,Ndxxθˆˆθ1,,iiNxxiˆθ4.区间估计：除点估计外，还有另一类估计问题，要求用区间作为可能取值范围得一种估计，此区间称为置信区间，该类估计问题称为区间估计。5.参数估计方法：参数估计是统计学的经典问题，解决方法很多，在此只考虑两种常用方法：一种是最大似然估计方法，另一种是贝叶斯估计方法。(1)最大似然估计：把参数看作是确定而未知的，最好的估计值是在获得实际观察样本的最大的条件下得到的。(2)贝叶斯估计：把未知的参数当作具有某种分布的随机变量，样本的观察结果使先验分布转化为后验分布，再根据后验分布修正原先对参数的估计。6.参数估计的评价：评价一个估计的“好坏”，不能按一次抽样结果得到的估计值与参数真值的偏差大小来确定，而必须从平均和方差的角度出发进行分析，即关于估计量性质的定义。21,dd§4-2参数估计理论一．极大似然估计假定：①待估参数θ是确定的未知量②按类别把样本分成M类X1，X2，X3，…XM其中第i类的样本共N个Xi=(X1,X2,…XN)T并且是独立从总体中抽取的③Xi中的样本不包含(i≠j)的信息，所以可以对每一类样本独立进行处理。④第i类的待估参数根据以上四条假定，我们下边就可以只利用第i类学习样本来估计第i类的概率密度，其它类的概率密度由其它类的学习样本来估计。12(,,...)Tipj1.一般原则：第i类样本的类条件概率密度：P(Xi/ωi)=P(Xi/ωi﹒θi)=P(Xi/θi)原属于i类的学习样本为Xi=(X1,X2,…XN,)Ti=1,2,…M求θi的极大似然估计就是把P(Xi/θi)看成θi的函数，求出使它极大时的θi值。∵学习样本独立从总体样本集中抽取的∴N个学习样本出现概率的乘积取对数：NkiXkPiXPiiXPii1)|()|().|(NkikikNkXPXP11)|(log)|(log对θi求导,并令它为0：有时上式是多解的,上图有5个解,只有一个解最大即.0)|(log...11NkikpXP0)|(log..................0)|(log111ikNkpikNkXPXPP(Xi/θi)＝，即为的估值利用上式求出ii2.多维正态分布情况①∑已知,μ未知,估计μ服从正态分布所以在正态分布时)|(iiXP0)|(log1XPkNk111log(|)log[2||]22nTkkkPXXXNkkX110NkkX1101i待估参数为代入上式得110)(NkkNXNkkXN11所以，有这说明未知均值的极大似然估计正好是训练样本的算术平均。②∑，μ均未知A.一维情况：n=1对于每个学习样本只有一个特征的简单情况：(n=1)由上式得即学习样本的算术平均样本方差21211,1222212log21)|(logXXPkik0)(1)|(log11211XXPkNkikNk代入0]2)(21[)|(log12212212NkkikNkXXPNkkXN1111NkXkN122121讨论：1.正态总体均值的极大似然估计即为学习样本的算术平均2.正态总体方差的极大似然估计与样本的方差不同，当N较大的时候，二者的差别不大。B．多维情况：n个特征（推导过程，作为练习）估计值：结论：①μ的估计即为学习样本的算术平均②估计的协方差矩阵是矩阵的算术平均（nⅹn阵列，nⅹn个值）NkkXN111XTXNkNkk121XXkTk二.贝叶斯估计极大似然估计是把待估的参数看作固定的未知量，而贝叶斯估计则是把待估的参数作为具有某种先验分布的随机变量，通过对第i类学习样本Xi的观察，通过贝叶斯准则将概率密度分布P(Xi/θ)转化为后验概率P(θ/Xi)，进而求使得后验概率分布最大的参数估计，也称最大后验估计。估计步骤：①确定θ的先验分布P(θ),待估参数为随机变量。②用第i类样本xi=(x1,x2,….xN)T求出样本的联合概率密度分布P(xi|θ)，它是θ的函数。③利用贝叶斯公式,求θ的后验概率④dPXPPXPXPiii)()|()().|()|(（证明略）求贝叶斯估计dXPi)|(下面以正态分布的均值估计为例说明贝叶斯估计的过程：一维正态分布：已知σ2,估计μ假设概率密度服从正态分布P(X|μ)=N(μ,σ2),P(μ)=N(μ0,σ02)第i类学习样本xi=(x1,x2,….xN)T,i=1,2,…M第i类概率密度P(x|μi,xi)=P(x|xi)所以由贝叶斯公式，则可得后验概率：dPXPPXPXPiii)()|()().|()|(因为N个样本是独立抽取的，所以上式可以写成其中为比例因子,只与x有关,与μ无关∵P(Xk|μ)=N(μ,σ2),P(u)=N(μ0,σ02)其中a’,a’’包含了所有与μ无关的因子1(|)(|).()NikkPaPXPXdPXPai)()|(12200101111(|)exp{exp[]}2222NkikXPaX]}[21exp{'10022NkkXa]})1(2)1[(21exp{''200122202NkkXNa∴P(μ|Xi)是u的二次函数的指数函数∴P(μ|Xi)仍然是一个正态函数,P(μ|Xi)=N(μN,σN2)另外后验概率可以直接写成正态形式：比较以上两个式子,对应的系数应该相等∴211(|)exp[]22NiNNPX2220022210111NNNkkNNX解以上两式得将μN,代入P(μ|Xi)可以得到后验概率，再用公式22002222100NNkkXNN2220220NN(|),iPdX求的估计。2N∴对μ的估计为若令P(μ)=N(μ0,σ02)=N(0,1)，即为标准正态分布，且总体分布的方差也为1，则此时估计与极大似然估计相似，只是分母不同。02202222001NNkNkXNN111NNkkXNNidXP)|(∵2三．贝叶斯学习1.贝叶斯学习的概念：通过已有的概率分布和观测数据推理求出μ的后验概率之后，直接去推导总体分布(形式已知)，即当观察一个样本时，N=1就会有一个μ的估计值的修正值；当观察N=4时，对μ进行修正，向真正的μ靠近；当观察N=9时，对μ进行修正，向真正的μ靠的更近；当观察N个样本后,μN就反映了观察到N个样本后对μ的最好推测，而σN2反映了这种推测的不确定性。N↑,σN2↓,σN2随观察样本增加而单调减小，且当N→∞,σN2→0；当N↑，P(μ|xi)越来越尖峰突起，于是N→∞,P(μ|xi)→函数，即收敛于一个以真实参数为中心的函数，这个过程成为贝叶斯学习。(|)(|)(|)(|)(|)iiiPXXPXPXdPXPXd2．类概率密度的估计在求出u的后验概率P(μ|xi)后，可以直接利用式推断类条件概率密度。即P(x|xi)＝P(x|ωi，xi)⑴一维正态：已知σ2，μ未知∵μ的后验概率为(|)(|)(|)iiPxxPxPxd2211(|)(|)exp[]2211(|)exp[]22iiNNNPPxxxPx服从正态分布(|)(|)(|)(|)(|)iiiPxPxPdPxPdxxx代入221111exp[]exp[]2222NNNxd222222222222111exp[exp[]222NNNNNNNNxxd]21exp[2122222NNNx为正态函数),(22NNN结论：①把第i类的先验概率P(ωi)与第i类概率密度P(x|xi)相乘可以得到第i类的后验概率P(ωi|x)，根据后验概率可以分类。②对于正态分布P(x|xi)，用样本估计出来的μN代替原来的μ，用代替原来的方差即可。③把估计值μN作为μ的实际值，那么使方差由原来的变为,使方差增大；也就是说：用μ的估计值μN代替真实值μ，将引起不确定性增加。22N2222N⑵多维正态（已知Σ，估计μ）设P(x|μ)=N(μ,∑)P(μ)=N(μ0,∑0).根据Bayes公式，仿上面步骤可以得到：ΣN,μN有以下关系]21exp[)|(1NNNTiaxP).(..........1011ANN111001()........(B)NkNNkx其中a与μ无关这就是在多维情况下，对μ的估计。NANN10:)(011式得由110001111()()()01NkNkBxNNNN代入式得：(|)(|)(|)NiiPxPxPdxxBayes将代入就可以设计分类器§4-3非参数估计参数估计要求密度函数的形式已知，但这种假定有时并不成立，常见的一些函数形式很难拟合实际的概率密度，经典的密度函数都是单峰的，而在许多实际情况中却是多峰的，因此用非参数估计。非参数估计:直接用已知类别样本去估计总体密度分布，方法有：①用样本直接去估计