二次曲线系的研究

曲线系一、直线系过直线11110lAxByC：＋＋＝与22220lAxByC：＋＋＝的交点的直线系方程：1112220AxByCAxByC＋＋＋（＋＋）＝（为参数）二、圆系圆11:,0CFxy与圆22:,0CFxy1.过圆1C与圆2C的交点的所有圆方程可设为12,,0FxyFxy2.过圆1C与直线:,0lfxy的交点的所以圆方程可设为1,,0Fxyfxy三、二次曲线系定理一：给定五点，其中三点在直线l上，另外两点不在l上，则经过这五点的二次曲线是唯一的，并且是退化的二次曲线（即两条直线）．定理二：给定五个点，其中任何三点都不共线，则过此五点有且仅有一条二次曲线．推论一：若圆锥曲线0),(:0),(:2211yxfCyxfC与有四个不同交点，则过两曲线交点的曲线方程为：0),(),(21yxfyxf．推论二：若直线0),(0),(22221111CyBxAyxlCyBxAyxl及与圆锥曲线C：0),(yxf有四个不同交点，则过这四个交点的曲线系方程为：0),(),(),(21yxlyxlyxf．推论三：若四直线及与及0),(:0),(:0),(:332211yxllyxllyxll0),(:44yxll有四个不同的交点，则过这四个交点的曲线方程为：0),(),(),(),(4321yxlyxlyxlyxl．推论四：),3,2,1()3,2,1(141PPiPPiPiii为不共线三点，直线的方程为：0),(iiiiCyBxAyxl则曲线系为：0),(),(),(),(),(),(133322211yxlyxlyxlyxlyxlyxl．例1.曲线22143xy直线:4lx与x轴交于T，12,AA为椭圆的两顶点，在直线上任取一点P，连接12,APAP分别与椭圆交于,MN连MN，求证MN过x轴上的定点。方法1（韦达定理硬算）4,Pp12,0A22,0A,MMMxy,NNNxy1620APPxyp：2220APPxyp：与椭圆22143xy联立得2222227441080xpxpxp224108227Mpxp2122222MbBCyyaAbB10y2222410872,41084108ttMtt同理222241224,412412ttNtt222222222224108241224108242412722472:412410841084124108412ttttttttMNxytttttt0y令2222222410824241272247241241084108412ttttttxtttt1x故MN过x轴上的定点1,0计算量如此之大若拓展到一般形式直接就是死曲线22221xyab直线:lxm与x轴交于T，12,AA为椭圆的两顶点，在直线上任取一点P，连接12,APAP分别与椭圆交于,MN连MN，MN交x轴于点,0Qn求证2mna设,Pmt12122222:0:0:0:01APtxmayatAPtxmayatMNkxyknAAyxyab用双直线1AP，2AP和椭圆22221xyab表示双直线12,AAMN22221xytxmayattxmayatkxyknyab比较系数::xyktmatmayknatmaatma得2mna用两直线与圆锥曲线的四个交点表示通过四个交点的另外两条直线，从而挑出主要系数即可大大减少计算量。例2已知椭圆22143xy，过椭圆上31,2A任意做椭圆两条弦,AEAF，AEAFkk，求证：直线EF的斜率为定值123331,1,1,222AAA用椭圆和双直线12,AEAF表示双直线121,AAAF（其中12AA为椭圆切线）121211223:023:02:1042:01043AEkxykAFkxykxyAAAFkxymxy2213311432242xyxykxykkxykkxym比较系数111:04212kxyk若推广到一般20120bxkay椭圆上点可视为两个点重合的情况，作其切线即有曲线系方程引理圆O中的弦PQ的中点M，过M任作两弦,ABCD弦AD与BC分别交PQ于,EF求证MEMF以M为原点，PQ为x轴，PQ的中垂线为y轴建立平面直角坐标系圆心0,Ob半径为r22212:0:0xybrABkxyCDkxy双直线,BCAD方程为222120xybrkxykxy令0y则2222122221200xbrkkxkkxbr两根为,EF的横坐标120xx即MEMF有了这个引理回到例题11212AQAQQCQDATPTPTAT即1212AQAQATAT2naanmamamna二十几行到十几行到几行的飞跃