20202021学年高中数学模块综合提升教师用书教案新人教A版选修11

-1-模块综合提升一、常用逻辑用语1．命题及其关系(1)原命题：若p，则q.则逆命题：若q，则p.否命题：若¬p，则¬q.逆否命题：若¬q，则¬p.(2)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．2．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p是q的充要条件．(3)若p⇒q，qp，则p是q的充分不必要条件．(4)若pq，q⇒p，则p是q的必要不充分条件．(5)若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件．3．简单的逻辑联结词(1)命题p∧q的真假：“全真则真”“一假则假”．(2)命题p∨q的真假：“一真则真”“全假则假”．(3)命题¬p的真假：p与¬p的真假性相反．4．全称命题与特称命题的否定(1)全称命题的否定p：∀x∈M，p(x)．¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．(2)特称命题的否定p：∃x0∈M，p(x0)．¬p：∀x∈M，¬p(x)．二、圆锥曲线与方程1．椭圆(1)椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．(2)椭圆的标准方程-2-焦点在x轴上：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，焦点在y轴上：y2a2＋x2b2＝1(ab0)．(3)椭圆的几何性质①范围：对于椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，－a≤x≤a，－b≤y≤b.②对称性：椭圆x2a2＋y2b2＝1或y2a2＋x2b2＝1(ab0)，关于x轴、y轴及原点对称．③顶点：椭圆x2a2＋y2b2＝1的顶点坐标为A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．④离心率：e＝ca，离心率的范围是e∈(0,1)．⑤a，b，c的关系：a2＝b2＋c2.2．双曲线(1)双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．(2)双曲线的标准方程焦点在x轴上：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，焦点在y轴上：y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．(3)双曲线的几何性质①范围：对于双曲线y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，y≥a或y≤－a，x∈R.②对称性：双曲线x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，关于x轴、y轴及原点对称．③顶点：双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的顶点坐标为A1(－a，0)，A2(a,0)，双曲线y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的顶点坐标为A1′(0，－a)，A2′(0，a)．④渐近线：双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax，双曲线y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±abx.-3-⑤离心率：e＝ca，双曲线离心率的取值范围是e∈(1，＋∞)⑥a，b，c的关系：c2＝a2＋b2.3．抛物线(1)抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．(2)抛物线的标准方程焦点在x轴上：y2＝±2px(p0)，焦点在y轴上：x2＝±2py(p0)．(3)抛物线的几何性质①范围：对于抛物线x2＝2py(p0)，x∈R，y∈[0，＋∞)．②对称性：抛物线y2＝±2px(p0)，关于x轴对称，抛物线x2＝±2py(p0)，关于y轴对称．③顶点：抛物线y2＝±2px和x2＝±2py(p0)的顶点坐标为(0,0)．④离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义知e＝1.三、导数及其应用1．导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点x＝x0处的切线的斜率，其切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)．2．导数的计算(1)基本初等函数的导数公式①若f(x)＝c，则f′(x)＝0.②若f(x)＝xα(α∈Q*)，则f′(x)＝αxα－1.③若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cos_x.④若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sin_x.⑤若f(x)＝ax，则f′(x)＝axln_a(a0)．⑥若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex.⑦若f(x)＝logax，则f′(x)＝1xlna(a0，且a≠1)．⑧若f(x)＝lnx，则f′(x)＝1x.(2)导数的运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．-4-②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．③fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．3．导数在研究函数中的应用(1)函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．(2)函数的极值与导数可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的条件：①f′(x)＝0，②f′(x)在x＝x0两侧异号．(3)函数的最大(小)值与导数对于图象连续不断的函数，在闭区间上一定有最值，在开区间上不一定有最值．1．命题“若p，则q”的否命题是“若p，则¬q”．(×)[提示]否命题为若¬p，则¬q.2．命题“若p则q”的等价命题是“若¬p，则¬q”．(×)3．一个命题的逆命题和否命题真假性相同．(√)4．“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”，两个说法相同．(×)[提示]“p是q的充分条件”即p⇒q，“p的充分条件是q”即q⇒p，故两个说法不同．5．“x＝3”是“x2－4x＋3＝0”的充分不必要条件．(√)6．“x2”是“x3”的充分不必要条件．(×)[提示]x2x3，但x3⇒x2，故“x2”是“x3”的必要不充分条件．7．若命题p∨q是真命题，则命题p是真命题．(×)[提示]命题p可能是假命题．8．若命题p∧q是假命题，则命题p是假命题．(×)[提示]命题p可能是真命题．9．命题“∀x0，x2－2x0”的否定为“∃x00，x20－2x0≤0”．(×)[提示]否定为∃x00，x20－2x0≤0.10．命题“有些平行四边形是矩形”的否定为“有些平行四边形不是矩形”．(×)[提示]否定为任何一个平行四边形都不是矩形．11．椭圆x225＋y249＝1上的点到椭圆两焦点的距离之和为10.(×)[提示]椭圆上的点到两焦点的距离之和为14.-5-12．椭圆x216＋y29＝1的焦点坐标为(±5,0)．(×)[提示]焦点坐标为(±7，0)．13．椭圆上一点到一个焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.(√)14．双曲线x216－y29＝1的焦点坐标为(±5,0)．(√)15．双曲线y249－x225＝1上的点到双曲线两焦点的距离之差为14.(×)[提示]双曲线上的点到两焦点的距离之差为±14.16．双曲线的左焦点到双曲线左支的最小距离为a－c，到双曲线右支的最小距离为a＋c.(×)17．双曲线y24－x216＝1的渐近线方程为y＝±12x.(√)18．抛物线x2＝4y的焦点坐标为(0,1)．(√)19．抛物线y2＝16x的焦点到准线的距离为16.(×)[提示]焦点到准线的距离为8.20．抛物线y2＝8x的最短焦点弦长为8.(√)21．曲线y＝x2在点x＝1处的切线斜率为2.(√)22．若f(x)＝2x，则f′(x)＝2xln2.(√)23．若xf′(x)－f(x)0，则函数y＝fxx在(0，＋∞)上是增函数．(√)24．若函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0.(√)25．若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数y＝f(x)的极值点．(×)[提示]不一定，只有当在x＝x0的左右两侧f′(x)符号相反时，x＝x0才是函数y＝f(x)的极值点．26．若函数f(x)＝ax3－1在R上是减函数，则a0.(√)27．若函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d无极值点，则b2－3ac≤0.(√)28．若函数f(x)在区间(a，b)上只有一个极值点x＝x0，则f(x0)一定是函数f(x)的最值．(√)29．函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－3,0]上的最大值为3，最小值为－17.(√)30．若直线y＝a与函数f(x)＝13x3－x2－3x＋1的图象相切，则a＝－8或a＝83.(√)1．曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为()-6-A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝0[答案]C2．已知椭圆C：x2a2＋y24＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A．13B．12C．22D．223C[不妨设a0，因为椭圆C的一个焦点为(2,0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝22，所以椭圆C的离心率e＝ca＝22.]3．双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±3xC．y＝±22xD．y＝±32xA[法一：由题意知，e＝ca＝3，所以c＝3a，所以b＝c2－a2＝2a，所以ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±2x，故选A．法二：由e＝ca＝1＋ba2＝3，得ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±2x，故选A．]4．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()A．5B．22C．23D．33C[抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝3(x－1)．联立得方程组y＝3x－1，y2＝4x，解得x＝13，y＝－233或x＝3，y＝23.∵点M在x轴的上方，-7-∴M(3,23)．∵MN⊥l，∴N(－1,23)．∴|NF|＝1＋12＋0－232＝4，|MF|＝|MN|＝3＋12＋23－232＝4.∴△MNF是边长为4的等边三角形．∴点M到直线NF的距离为23.故选C．]5．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为()A．1－32B．2－3C．3－12D．3－1D[由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝3c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即3c＋c＝2a，所以(3＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝ca＝23＋1＝3－1.故选D．]6．曲线y＝2lnx在点(1,0)处的切线方程为________．y＝2x－2[由题意知，y′＝2x，所以曲线在点(1,0)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝2，故所求切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.]7．曲线y＝x2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．x－y＋1＝0[∵y′＝2x－1x2，∴y′|x＝1＝1，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k＝1，∴切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.]8．已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．2x－y＝0[设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x.∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝ex－1＋x.∵当x＞0时，f′(x)＝ex－1＋1，-8-∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.]9．已知函数f(x)＝aex－lnx－1.(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a≥1e时，f(x)≥0.[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－1x.由题设知，f′(2)＝0，所以a＝12e2.从而f(x)＝12e2ex－lnx－1，f′(x)＝12e2ex－1x.当0x2时，f′(x