20202021学年高中数学第3章导数及其应用31313导数的几何意义教师用书教案新人教A版选修11

-1-3.1.3导数的几何意义学习目标核心素养1．理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)2．理解导函数的概念，会求简单函数的导函数．(重点)3．理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点)1．通过学习导数的几何意义，培养学生数学抽象的素养.2．借助导数的几何意义解题，培养学生的数学运算素养.1．导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．(1)(2)(3)(4)(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，则k＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝f′(x0)．(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？[提示]不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．-2-2．导函数的概念(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝()A．4B．－4C．－2D．2D[由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D．]2．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为________．45°[设切线的倾斜角为α，则tanα＝f′(x0)＝1，又α∈[0°，180°)，∴α＝45°.]3．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．x＋y－3＝0[切线的斜率为k＝－1.∴点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.]导数的几何意义【例1】(1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)f′(xB)B．f′(xA)f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1(1)B(2)A[(1)由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)f′(xB)．(2)由题意，知k＝y′|x＝0＝limΔx→00＋Δx2＋a0＋Δx＋b－bΔx＝1，-3-∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A．]1．本例(2)中主要涉及了两点：①f′(0)＝1，②f(0)＝b.2．解答此类问题的关键是理解导数的几何意义．3．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．[跟进训练]1．(1)设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1B．12C．－12D．－1(2)如图所示，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于()A．－4B．3C．－2D．1(1)A(2)D[(1)由题意可知，f′(1)＝2.又limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→0a1＋Δx2－aΔx＝limΔx→0(aΔx＋2a)＝2a.故由2a＝2得a＝1.(2)直线l的方程为x4＋y4＝1，即x＋y－4＝0.又由题意可知f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴f(2)＋f′(2)＝2－1＝1.]求切点坐标【例2】在曲线y＝x2上求一点，使得在该点处的切线：(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)倾斜角为135°.分别求出满足上述条件的点的坐标．-4-[思路点拨]先求出函数的导函数f′(x)，再设切点(x0，y0)，由导数的几何意义知切点(x0，y0)处的切线的斜率为f′(x0)，然后根据题意列方程，解关于x0的方程即可求出x0，又点(x0，y0)在曲线y＝x2上，易得y0.[解]设y＝f(x)，则f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0x＋Δx2－x2Δx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x.设P(x0，y0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，所以y0＝4，即P(2,4)．(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，且直线2x－6y＋5＝0的斜率为13，所以2x0·13＝－1，解得x0＝－32，所以y0＝94，即P－32，94.(3)因为切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为－1，即2x0＝－1，解得x0＝－12，所以y0＝14，即P－12，14.解答此类题目时，所给直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.[跟进训练]2．已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?[解]设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx，∴y′|x＝x0＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(4x0＋2Δx)＝4x0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，-5-即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9).求曲线的切线方程[探究问题]1．如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？提示：根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．2．曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？提示：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．【例3】已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程．[思路点拨](1)求y′|x＝1―→求切点―→点斜式方程求切线(2)设切点x0，y0―→求y′|x＝x0―→由y′|x＝x0＝y0－1x0－1求x0，y0―→写切线方程[解](1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1,1)．y′|x＝1＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01＋Δx3－1Δx＝limΔx→0[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.∴k＝y′|x＝1＝3.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y′|x＝x0＝3x20，由题意可知kPQ＝y′|x＝x0，即y0－1x0－1＝3x20，又y0＝x30，所以x30－1x0－1＝3x20，即2x20－x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－12.①当x0＝1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0.②当x0＝－12时，切点坐标为－12，－18，相应的切线方程为y＋18＝34x＋12，即3x－4y＋1＝0.-6-(变结论)本例第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？[解]由y＝3x－2，y＝x3，解得x＝1，y＝1，或x＝－2，y＝－8，从而求得公共点为P(1,1)或M(－2，－8)，即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．1．求曲线在某点处的切线方程的步骤2.求过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的步骤(1)设切点(x0，y0)；(2)求f′(x0)，写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)；(3)将点(x1，y1)代入切线方程，解出x0，y0及f′(x0)；(4)写出切线方程．1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．-7-1．判断正误(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点x＝x0处切线的斜率．()(2)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在．()(3)f′(x0)(或y′|x＝x0)是函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．()(4)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么()A．f′(x0)＞0B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在B[由x＋2y－3＝0知，斜率k＝－12，∴f′(x0)＝－12＜0.]3．曲线f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为________．x＋2y＋4＝0[f′(－2)＝limΔx→0f－2＋Δx－f－2Δx＝limΔx→02－2＋Δx＋1Δx＝limΔx→01－2＋Δx＝－12，∴切线方程为y＋1＝－12(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.]4．已知直线y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及a的值．[解]设直线l与曲线相切于点P(x0，y0)，则f′(x)＝limΔx→0x＋Δx3－2x＋Δx2＋3－x3－2x2＋3Δx＝3x2－4x.由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3x20－4x0＝4，解得x0＝－23或x0＝2，∴切点坐标为－23，4927或(2,3)．当切点为－23，4927时，有4927＝4×－23＋a，∴a＝12127.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，-8-∴a＝－5，因此切点坐标为－23，4927或(2,3)，a的值为12127或－5.