20202021学年高中数学第3章导数及其应用32322基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二教师

-1-3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学习目标核心素养1．理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(重点、难点)借助导数公式及运算法则求函数的导数，培养数学运算素养.导数的运算法则(1)设两个函数f(x)，g(x)可导，则和的导数[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)差的导数[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)积的导数[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)商的导数fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)(2)常数与函数的积的导数[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)思考：根据商的导数的运算法则，试求函数y＝1x的导数．[提示]y′＝1x′＝1′×x－1×x′x2＝－1x2.1．函数y＝x·lnx的导数是()A．xB．1xC．lnx＋1D．lnx＋xC[y′＝(x)′×lnx＋x×(lnx)′＝lnx＋1.]2．函数y＝x4＋sinx的导数为()A．y′＝4x3B．y′＝cosxC．y′＝4x3＋sinxD．y′＝4x3＋cosxD[y′＝(x4)′＋(sinx)′＝4x3＋cosx．]3．函数y＝9x的导数为__________．y′＝－9x2[y′＝9′×x－9×x′x2＝－9x2.]-2-利用导数的运算法则求导数【例1】求下列函数的导数：(1)y＝1x2＋sinx2cosx2；(2)y＝xx2－32x－6＋2；(3)y＝cosxlnx；(4)y＝xex.[解](1)y′＝1x2＋sinx2cosx2′＝(x－2)′＋12sinx′＝－2x－3＋12cosx＝－2x3＋12cosx.(2)y′＝x3－32x2－6x＋2′＝(x3)′－32x2′－(6x)′＋(2)′＝3x2－3x－6.(3)y′＝(cosxlnx)′＝(cosx)′lnx＋cosx(lnx)′＝－sinxlnx＋cosxx.(4)y′＝xex′＝x′ex－xex′ex2＝ex－xexe2x＝1－xex.利用导数运算法则的策略1分析待求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式.2如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.3利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.-3-[跟进训练]1．求下列函数的导数．(1)y＝e2x；(2)y＝x2＋log3x；(3)y＝xlnx.[解](1)y＝e2x＝ex·ex，∴y′＝(ex)′·ex＋ex·(ex)′＝2e2x.(2)y＝x2＋log3x，∴y′＝2x＋1xln3.(3)y＝xlnx，∴y′＝lnx－1lnx2.导数运算的综合应用【例2】设函数f(x)＝13x3－x2－3x－5，点P是曲线y＝f(x)上的一个动点．(1)求以P点为切点的切线斜率的取值范围；(2)求以P点为切点的切线斜率取得最小值时的切线方程．[思路点拨]求出f′(x)，转化为求f′(x)的最值问题．[解](1)因为f(x)＝13x3－x2－3x－5，所以f′(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4.所以以P点为切点的切线斜率的取值范围为[－4，＋∞)．(2)由(1)知f′(x)min＝－4，即当x＝1时，k＝f′(x)min＝－4，又因为f(1)＝13－1－3－5＝－263，故此时的切线方程为y＋263＝－4(x－1)，即12x＋3y＋14＝0.1．本题主要考查导数的运算法则，导数的几何性质及二次函数最值问题及求曲线的切线方程．2．曲线的切线问题是这类问题的纽带和桥梁，如①求与坐标轴围成的三角形面积问题；②求与切线垂直(平行)的直线方程问题；③求与切线有关的定值问题等．[跟进训练]2．设函数f(x)＝x－3x，求证曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．[解]设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋3x2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝1＋3x20(x－x0)，即y－x0－3x0＝1＋3x20(x－x0)．令x＝0，得y＝－6x0，从而得切线与-4-直线x＝0的交点坐标为0，－6x0.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)，所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为12－6x0·|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.利用导数求函数解析式[探究问题]对于函数y＝f(x)而言，f′(x)与f′(a)相同吗？提示：不同，f′(x)是函数y＝f(x)的导数，而f′(a)是f′(x)在x＝a处的函数值．【例3】(1)已知函数f(x)＝lnxx＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；(2)设f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcosx.[思路点拨](1)求f′x―→令x＝1―→求f′1―→比较fe与f1的大小(2)计算f′x―→由f′x＝xcosx求a，b，c，d[解](1)由题意得f′(x)＝1－lnxx2＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝1－ln11＋2f′(1)．则f′(1)＝－1.所以f(x)＝lnxx－2x，得f(e)＝lnee－2e＝1e－2e，f(1)＝－2，由f(e)－f(1)＝1e－2e＋20，得f(e)f(1)．(2)由已知f′(x)＝[(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx]′＝[(ax＋b)sinx]′＋[(cx＋d)cosx]′＝(ax＋b)′sinx＋(ax＋b)(sinx)′＋(cx＋d)′cosx＋(cx＋d)(cosx)′＝asinx＋(ax＋b)cosx＋ccosx－(cx＋d)sinx＝(a－cx－d)sinx＋(ax＋b＋c)cosx.又∵f′(x)＝xcosx，-5-∴a－d－cx＝0，ax＋b＋c＝x，即a－d＝0，－c＝0，a＝1，b＋c＝0，解得a＝d＝1，b＝c＝0.解答此类问题的关键是准确求导，然后借助恒等式等方程思想求解相应参数.[跟进训练]3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝()A．－eB．－1C．1D．eB[∵f(x)＝2xf′(1)＋lnx，∴f′(x)＝2f′(1)＋1x，又f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1，故选B．]求函数的导数要准确把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．1．判断正误(1)[x2f(x)]′＝2xf′(x)．()(2)1x2′＝12x.()(3)sinx＋π2′＝sinx．()(4)(ln5x)′＝1x.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．已知f(x)＝x3＋3x＋ln3，则f′(x)为()-6-A．3x2＋3xB．3x2＋3xln3＋13C．3x2＋3xln3D．x3＋3xln3C[f′(x)＝(x3)′＋(3x)′＋(ln3)′＝3x2＋3xln3，故选C．]3．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象过点(1,5)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式为____________．f(x)＝2x3－9x2＋12x[因为f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，所以3a＋2b＋c＝0，12a＋4b＋c＝0，a＋b＋c＝5，解得a＝2，b＝－9，c＝12.故函数f(x)的解析式是f(x)＝2x3－9x2＋12x.]4．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′π3＝12，求a，b的值．[解]f′(x)＝2ax－bcosx，则f′0＝－b＝1，f′π3＝2aπ3－bcosπ3＝12，即b＝－1，2a3π－12b＝12，解得b＝－1，a＝0.