20202021学年高中数学第1章常用逻辑用语14全称量词与存在量词教学用书教案新人教A版选修21

-1-1.4全称量词与存在量词学习目标核心素养1．理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义．2．掌握全称命题与特称命题真假性的判定．(重点、难点)3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)1．通过全称量词、存在量词以及全称命题、特称命题相关概念的学习，培养学生数学抽象核心素养．2．借助相关命题的真假判断及由命题的真假求参数，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养．1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”．思考：(1)“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．[提示](1)是特称命题，可改写为“存在x0∈R，使ax20＋2x0＋1＝0”．(2)是全称命题，可改写成：“∀x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)0”．3．含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定p：∃x0∈M，p(x0)；特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定p：∀x∈M，p(x)．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．-2-1．下列命题中全称命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°．A．0B．1C．2D．3D[命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．]2．下列命题中特称命题的个数是()①至少有一个偶数是质数；②∃x0∈R，log2x0＞0；③有的向量方向不确定．A．0B．1C．2D．3D[①中含有存在量词“至少”，所以是特称命题；②中含有存在量词符号“∃”，所以是特称命题；③中含有存在量词“有的”，所以是特称命题．]3．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“p”形式的命题是()A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根[答案]C4．命题“∃x0∈R，x20＋x0＋1≤0”的否定是________．[答案]∀x∈R，x2＋x＋10全称命题和特称命题的概念及真假判断【例1】指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；-3-(2)存在一个x0∈R，使1x0－1＝0；(3)能被5整除的整数末位数是0；(4)有一个角α，使sinα1．[解](1)是全称命题，因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是特称命题．因为不存在x0∈R，使1x0－1＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称命题．因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题．(4)是特称命题，因为∀α∈R，sinα∈[－1,1]，所以该命题是假命题．1．判断命题是全称命题还是特称命题的方法(1)分析命题中是否含有量词；(2)分析量词是全称量词还是存在量词；(3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断．2．全称命题与特称命题真假的判断方法(1)要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．[跟进训练]1．(1)判断下列命题是全称命题还是特称命题？①凸多边形的外角和等于360°；②有的向量方向不定；③对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；④有些素数的和仍是素数；⑤若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．(2)判断下列命题的真假：①p：任意等比数列的公比不能等于0；②q：存在等差数列，其前n项和Sn＝n2＋2n－1；③r：∀x∈R，sinx＋cosx≥－1；④s：∃x0∈R，x20－2x0＋30．[解](1)①可以改写为所有的凸多边形的外角和都等于360°，故为全称命题．-4-②含有存在量词“有的”，故为特称命题．③含有全称量词“任意”，故为全称命题．④含有存在量词“有些”，故为特称命题．⑤若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．(2)①这是全称命题，由等比数列的定义知，等比数列中任意项an≠0，所以其公比q＝an＋1an≠0(n∈N＋)，故该命题为真命题．②这是特称命题，对于任意等差数列{an}，若设其公差为d，则前n项和Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋a1－d2n，因此不可能是Sn＝n2＋2n－1这种形式，故该命题是假命题．③这是全称命题，因为对∀x∈R，sinx＋cosx＝2sinx＋π4≥－2，所以存在x0∈R，sinx＋cosx∈[－2，－1)，故该命题为假命题．④这是特称命题，因为对任意x∈R，x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥20，所以不存在x0∈R，使x20－2x0＋30，故命题为假命题．含有一个量词的命题的否定【例2】(1)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀xR，x2≠xB．∀x∈R，x2＝xC．∃xR，x2≠xD．∃x∈R，x2＝x(2)写出下列命题的否定，并判断其真假：①p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；②p：所有的正方形都是菱形；③p：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0．思路探究：先判定命题是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式加以否定．(1)D[原命题的否定为∃x∈R，x2＝x，故选D．](2)解：①p：∃x0∈R，x20－x0＋140，假命题．因为∀x∈R，x2－x＋14＝x－122≥0恒成立．②p：至少存在一个正方形不是菱形，假命题．③p：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．-5-因为x＝－1时，x3＋1＝0．对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法1确定类型：是特称命题还是全称命题.2改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词.3否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.提醒：无量词的全称命题要先补回量词再否定.[跟进训练]2．(1)命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是()A．∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．∀x(0，＋∞)，lnx＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1D．∃x0(0，＋∞)，lnx0＝x0－1A[特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1．](2)写出下列命题的否定，并判断其真假．①p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；②q:存在一个实数x0，使得x20＋x0＋1≤0；③r：等圆的面积相等，周长相等；④s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1．[解]①这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．注意到当Δ＝1＋4m＜0时，即m＜－14时，一元二次方程没有实数根，所以p是真命题．②这一命题的否定形式是q：“对所有的实数x，都有x2＋x＋1＞0”，利用配方法可以证得q是真命题．③这一命题的否定形式是r：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知r是假命题．④这一命题的否定形式是s：“存在α∈R，sin2α＋cos2α≠1”，由于命题s是真命题，所以s是假命题．由全称(特称)命题的真假确定参数的范围[探究问题]-6-1．若含参数的命题p是假命题，如何求参数的取值范围？[提示]先求p，再求参数的取值范围．2．全称命题和特称命题与恒成立问题和存在性问题有怎样的对应关系？[提示]全称命题与恒成立问题对应，特称命题与存在性问题对应．【例3】(1)若命题p“∃x∈R,2x2－3ax＋90”为假命题，则实数a的取值范围是________．(2)已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．思路探究：(1)先求p，再求参数的取值范围．(2)首先利用命题的否定与原命题的真假不同，写出该命题的否定，再计算a的取值范围．(1)－22，22[p：∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题．则Δ＝9a2－72≤0，解得－22≤a≤22．](2)解：因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x0∈R，x20＋ax0＋10”．由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知：Δ＝a2－40，解得a－2或a2．所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．1．本例(2)中把条件“任意x∈R”改为“x0”，则实数a的取值范围是________．(－∞，－2)[由题意新命题的否定为“存在x00，x20＋ax0＋10”为真．因为f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线且过(0,1)点，借助二次函数的图象易知Δ＝a2－40，－a20，解得a－2．所以实数a的取值范围是(－∞，－2)．]2．本例(2)中把条件“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围．[解]对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0是真命题，即对任意实数x，不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2．所以a的取值范围是－2≤a≤2．含有一个量词的命题与参数范围的求解策略1对于全称命题“∀x∈M，afx或afx”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数fx的最大值或最小值，即afxmax或afxmin.2对于特称命题“∃x0∈M，afx0或afx0”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数fx的最小值或最大值，即afxmin或afxmax.3若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式——特称命题为真命题解决，同理，若-7-特称命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决.1．判定一个命题是全称命题还是特称命题的主要方法是看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称命题．2．要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例即可；对特称命题真假的判定方法正好与之相反．3．全称命题与特称命题的否定，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，并把命题的结论加以否定．4．利用全称命题和特称命题的真假求参数的取值范围问题时，转化恒成立或有解的数学问题来解决．1．下列命题中是全称命题，且为假命题的是()A．存在x0∈R，sinx0＋cosx0＝2B．偶函数图象关于y轴对称C．∃m∈R，x2＋mx＋1＝0无解D．∀x∈N，x3＞x2D[A，C中命题是特称命题，故排除．B为省略量词的全称命题，且为真命题．D为全称命题．当x＝0或1时，x3＝x2，故D中命题是