20202021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程242抛物线的简单几何性质教学用书教案新人教A版选修

-1-2.4.2抛物线的简单几何性质学习目标核心素养1．掌握抛物线的几何性质．(重点)2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)1．通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养．2．通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养．1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点p2，0－p2，00，p20，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝12．已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24；(2)|AB|＝x1＋x2＋p，|AF|＝x1＋p2；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．3．直线与抛物线的位置关系-2-直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p0)的交点个数决定于关于x的方程组y＝kx＋b，y2＝2px解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？[提示]可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．1．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M到x轴的距离是()A．1716B．78C．1D．1516D[抛物线方程可化为x2＝14y，其准线方程为y＝－116，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离．∴点M到x轴的距离是1516．]2．顶点在原点，对称轴为x轴，顶点到准线的距离为2的抛物线方程是()A．y2＝16xB．y2＝8xC．y2＝±8xD．y2＝±16xC[顶点在原点，对称轴为x轴的抛物线方程有两个：y2＝－2px，y2＝2px(p0)，由顶点到准线的距离为2知p＝4，故选C．]3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝()A．10B．8C．6D．4B[|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．]4．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．2[F(1,0)，由抛物线定义得A点横坐标为1．∴AF⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝2．]-3-抛物线几何性质的应用【例1】(1)等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是()A．8p2B．4p2C．2p2D．p2(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．(1)B[由抛物线的对称性质及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x，由y＝x，y2＝2px，得A(2p,2p)，则B(2p，－2p)，所以|AB|＝4p，所以S△ABO＝12·4p·2p＝4p2，选择B．](2)解：设所求抛物线的方程为y2＝2px(p0)或y2＝－2px(p0)，交点A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)(y20)，则|y1|＋|y2|＝23，即y1－y2＝23．(*)由对称性，知y2＝－y1，代入(*)式，得y1＝3，把y1＝3代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，3)在抛物线y2＝2px上，或点(－1，3)在抛物线y2＝－2px上，得3＝2p或3＝－2p×(－1)，所以p＝32．故所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x．把握三个要点确定抛物线的简单几何性质1开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.2关系：顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴.3定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦又称为通径长为2p；离心率恒等于1.[跟进训练]1．已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程．[解](1)当抛物线的焦点在x轴上时，设其标准方程为y2＝mx(m≠0)．-4-将点M(1，－2)代入，得m＝4．∴抛物线的标准方程为y2＝4x；(2)当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2＝ny(n≠0)．将点M(1，－2)代入，得n＝－12．∴抛物线的标准方程为x2＝－12y．故所求的抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝－12y．准线方程为x＝－1或y＝18．与中点弦、焦点弦有关的问题【例2】(1)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_____________________________________．(2)已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线'E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．①求抛物线E的方程；②求直线AB的方程．思路探究：(1)设出A，B坐标，利用线段AB的中点的横坐标为p，求出抛物线的参数p．(2)已知抛物线焦点可求p，利用中点求直线的斜率k．(1)y2＝4x[设抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，与y＝x联立方程组，消去y，得x2－2px＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝2p．又因为P(2,2)为AB的中点，所以2p＝4，所以y2＝4x．](2)[解]①由于抛物线的焦点为(1,0)，所以p2＝1，p＝2，所求抛物线的方程为y2＝4x．②法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝4x1①，y22＝4x2②，且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，-5-由②－①得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，又x1≠x2，所以y2－y1x2－x1＝2，所以所求直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0．法二：显然AB不垂直于x轴，故可设弦AB所在的直线方程为y－1＝k(x－2)，k≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y－1＝kx－2，y2＝4x，消去x整理得ky2－4y－8k＋4＝0，所以y1＋y2＝4k，又M点是AB的中点，所以y1＋y2＝2，所以k＝2，故直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0．直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k．(1)一般的弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|．(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px(p0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p．(3)“中点弦”问题解题策略两种方法[跟进训练]2．已知抛物线方程为y2＝2px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝52p，求AB所在的直线方程．[解]由题意知焦点Fp2，0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，-6-若AB⊥x轴，则|AB|＝2p52p，不满足题意．所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝kx－p2，k≠0．由y＝kx－p2，y2＝2px，消去y，整理得k2x2－(k2p＋2p)x＋k2p24＝0．由根与系数的关系得x1＋x2＝p＋2pk2，所以|AB|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p＝2p＋2pk2＝52p，解得k＝±2．所以AB所在的直线方程为y＝2x－p2或y＝－2x－p2．直线与抛物线的位置关系【例3】(1)已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p0)，则()A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线可能没有公共点(2)已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？思路探究：(1)直线y＝kx－k过定点(1,0)，根据定点与抛物线的位置关系判断．(2)直线与抛物线方程联立，根据“Δ”的正负判断．(1)C[直线方程可化为y＝k(x－1)，因此直线恒过定点(1,0)，点(1,0)在抛物线y2＝2px(p0)的内部，因此直线与抛物线有一个或两个公共点，故选C．](2)解：由题意，直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，由方程组y－1＝kx＋2，y2＝4x，(*)可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0．①①当k＝0时，由方程①得y＝1，-7-把y＝1代入y2＝4x，得x＝14，这时，直线l与抛物线只有一个公共点14，1．②当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．a．由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝12，所以方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l与抛物线只有一个公共点．b．由Δ0，即2k2＋k－10，解得－1k12，于是，当－1k12，且k≠0时，方程①有两个解，从而方程组(*)有两个解，这时直线l与抛物线有两个公共点．c．由Δ0，即2k2＋k－10，解得k－1或k12．于是当k－1或k12时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解，直线l与抛物线无公共点．综上，当k＝0或k＝－1或k＝12时，直线l与抛物线只有一个公共点．当－1k12，且k≠0时直线l与抛物线有两个公共点．当k－1或k12时，直线l与抛物线无公共点．直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2pxp0，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋2kb－2px＋b2＝0.1若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.2若k2≠0，当Δ0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ0时，直线与抛物线相离，无公共点.[跟进训练]3．若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．[解]因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组y＝a＋1x－1，y2＝ax只有一组-8-实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0，①(1)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解x＝－1，y＝－1.(2)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－45．所以原方程组有唯一解x＝－5，y＝－2.综上，实数a的取值集合是－1，－45．抛物线性质的综合应用[探究问题]1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？[提示]两条直线的斜率互为相反数．2．如何求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小值？[提示]法一：设A(t，－t2)为抛物线上的点，法二：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，由y＝－x2，4x＋3y＋m＝0，消去y得3x2－4x－m＝0，-9-∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－43．∴最小距离为－8＋435＝2035＝43．【例4】如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)求抛物