20202021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程章末综合提升教学用书教案新人教A版选修21

-1-第2章圆锥曲线与方程[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]圆锥曲线的定义及应用【例1】(1)已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对(2)已知双曲线C的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝()A．13B．14C．23D．24(1)C(2)B[(1)把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝|3x＋4y－12|5．∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．(2)由e＝ca＝2，得c＝2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝2a，-2-又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a，|F2A|＝2a．又|F1F2|＝2c＝4a，所以cos∠AF2F1＝|AF2|2＋|F1F2|2－|AF1|22·|AF2|·|F1F2|＝4a2＋16a2－16a22×2a×4a＝14．故选B．]“回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决.提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.[跟进训练]1．已知双曲线：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y＝3(x＋c)与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则双曲线的离心率为()A．2B．3C．2D．3＋1D[直线y＝3(x＋c)过左焦点F1(－c,0)，由于其斜率为3，∴tan∠MF1F2＝3，∴∠MF1F2＝60°．又∠MF1F2＝2∠MF2F1，-3-∴MF2⊥MF1且|MF1|＝12|F1F2|＝c，|MF2|＝3c．由双曲线定义得，|MF2|－|MF1|＝3c－c＝2a，∴双曲线的离心率e＝ca＝23－1＝3＋1．]圆锥曲线的方程【例2】(1)已知椭圆与双曲线y24－x212＝1的焦点相同，且它们的离心率的乘积等于85，则此椭圆的方程为()A．x29＋y225＝1B．x225＋y29＝1C．x25＋y2＝1D．x2＋y25＝1(2)已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|(其中B位于A，C之间)，且|AF|＝4，则抛物线的方程为()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝6xD．y2＝2x(1)A(2)B[(1)因为双曲线的焦点为(0，－4)，(0,4)，离心率为e1＝42＝2，所以椭圆的离心率e2＝852＝45．设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，则ca＝45，c＝4，a2＝b2＋c2，解得a＝5，b＝3，所以椭圆的方程为y225＋x29＝1．故选A．(2)如图，过A，B分别作AD，BE垂直于抛物线的准线，垂足为D，E，G为准线与x轴的交点，-4-由抛物线的定义，得|BF|＝|BE|，|AF|＝|AD|＝4．因为|BC|＝2|BF|，所以|BC|＝2|BE|，则在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，所以|AC|＝2|AD|＝8，所以|CF|＝8－4＝4，所以|GF|＝|CF|2＝2，即p＝|GF|＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x．]求圆锥曲线方程的一般步骤,一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.1定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.2定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1m0，n0.3定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.[跟进训练]2．(1)以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8xD．x2＝8y或x2＝－8yC[由题意知2p＝8，故选C．](2)焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是()A．x24＋y23＝1B．x24＋y2＝1C．y24＋x23＝1D．x2＋y24＝1A[依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝22－12＝3，故所求椭圆的标准方程是x24-5-＋y23＝1．]圆锥曲线的几何性质【例3】(1)如图所示，F1，F2是椭圆C1：x24＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A．2B．3C．32D．62(2)已知ab0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为________．思路探究：(1)由椭圆可求出|AF1|＋|AF2|，由矩形求出|AF1|2＋|AF2|2，再求出|AF2|－|AF1|即可求出双曲线方程中的a，进而求得双曲线的离心率．(2)根据离心率的关系列出关于a，b的方程，求出ba，再求渐近线方程．(1)D(2)x±2y＝0[(1)由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝23．因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝22，因此对于双曲线有a＝2，c＝3，所以C2的离心率e＝ca＝62．(2)设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1＝a2－b2a，e2＝a2＋b2a．因为e1·e2＝32，所以a4－b4a2＝32，即ba4＝14，所以ba＝22．故双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±22x，即x±2y＝0．]-6-求解离心率的三种方法1定义法：由椭圆双曲线的标准方程可知，不论椭圆双曲线的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2a2＋b2＝c2以及e＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法.2方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法.3几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆双曲线的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.[跟进训练]3．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO的面积是3c2，则这一椭圆的离心率是()A．12B．32C．22D．33A[12ab＝3c2，即a2(a2－c2)＝12c4，所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2，a＝2c，故e＝ca＝12．]直线与圆锥曲线的位置关系【例4】已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y＝－12x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足|AB||CD|＝534，求直线l的方程．思路探究：(1)利用定义解题．(2)利用勾股定理和弦长公式来解．-7-[解](1)由题设知b＝3，ca＝12，b2＝a2－c2，解得a＝2，b＝3，c＝1，∴椭圆的方程为x24＋y23＝1．(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，∴圆心到直线l的距离d＝2|m|5，由d1得|m|52．(*)∴|CD|＝21－d2＝21－45m2＝255－4m2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝－12x＋m，x24＋y23＝1，得x2－mx＋m2－3＝0，由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3．∴|AB|＝1＋－122[m2－4m2－3]＝1524－m2．由|AB||CD|＝534，得4－m25－4m2＝1，解得m＝±33，满足(*)．∴直线l的方程为y＝－12x＋33或y＝－12x－33．直线与圆锥曲线的三种位置关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x或y的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：1相交：Δ0⇔直线与椭圆相交；Δ0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ0也仅-8-是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件.2相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切.3相离：Δ0⇔直线与椭圆相离；Δ0⇔直线与双曲线相离；Δ0⇔直线与抛物线相离.[跟进训练]4．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，其焦点为F1，F2，离心率为22，直线l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B．(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，求a的取值范围．[解](1)由椭圆的离心率为22，得a＝2c，由A(2,0)，得a＝2，∴c＝2，b＝2，∴椭圆方程为x24＋y22＝1．(2)由e＝22，设椭圆方程为x2a2＋2y2a2＝1，联立x2a2＋2y2a2＝1，x＋2y－2＝0，得6y2－8y＋4－a2＝0，若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0,1]上有解．设f(y)＝6y2－8y＋4－a2，∴Δ≥0，f0≥0，即a2≥43，4－a2≥0，∴43≤a2≤4，故a的取值范围是233，2．