20202021学年高中数学第3章空间向量与立体几何31空间向量及其运算313空间向量的数量积运算教

3.1.3空间向量的数量积运算学习目标核心素养1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法．2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)3．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)1．通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养．2．借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养．1．空间向量的夹角(1)夹角的定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝π2时，两向量垂直，记作a⊥b．2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)数量积的运算律：数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c(3)空间两向量的数量积的性质：垂直若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0共线同向：则a·b＝|a|·|b|反向：则a·b＝－|a|·|b|向量数量积的性质模a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2|a|＝a·a|a·b|≤|a|·|b|夹角θ为a，b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|思考：(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？(2)若a·b0，则〈a，b〉一定是锐角吗？[提示](1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0．(2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b0，故当a·b0时，〈a·b〉不一定是锐角．1．下列各命题中，不正确的命题的个数为()①a·a＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)；③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a．A．0B．3C．2D．1D[命题①②③正确，④不正确．]2．已知正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为a，设AB→＝a，AD→＝b，AA′→＝c，则〈A′B→，B′D′→〉等于()A．30°B．60°C．90°D．120°D[△B′D′C是等边三角形，〈A′B→，B′D′→〉＝〈D′C→，B′D′→〉＝120°．]3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．23π[cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－33×2＝－12．所以〈a，b〉＝23π．]4．在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则|AC′|＝________．97[AC′→＝AB→＋AA′→＋AD→，AC′→2＝AB→2＋AA′→2＋AD→2＋2AB→·AA′→＋2AB→·AD→＋2AA′→·AD→＝42＋52＋32＋2×4×5×cos60°＋2×4×3×cos60°＋2×5×3×cos60°＝16＋25＋9＋20＋12＋15＝97，∴|AC′|＝97．]空间向量的数量积运算【例1】(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝()A．1B．2C．3D．4(2)如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：①EF→·BA→；②EF→·BD→；③EF→·DC→；④AB→·CD→．(1)A[由题意知，p·q＝0，p2＝q2＝1，所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1．](2)解：①EF→·BA→＝12BD→·BA→＝12|BD→||BA→|cos〈BD→，BA→〉＝12cos60°＝14．②EF→·BD→＝12BD→·BD→＝12|BD→|2＝12．③EF·DC→＝12BD→·DC→＝－12DB→·DC→＝－12×cos60°＝－14．④AB→·CD→＝AB→·(AD→－AC→)＝AB→·AD→－AB→·AC→＝|AB→||AD→|cos〈AB→，AD→〉－|AB→||AC→|cos〈AB→，AC→〉＝cos60°－cos60°＝0．在几何体中求空间向量的数量积的步骤1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.4代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.[跟进训练]1．(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE→·AF→＝________．14a2[AE→·AF→＝12()AB→＋AC→·12AD→＝14(AB→·AD→＋AC→·AD→)＝14(a2cos60°＋a2cos60°)＝14a2．](2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则OG→·(OA→＋OB→＋OC→)＝________．143[OG→＝OA→＋AG→＝OA→＋13(AB→＋AC→)＝OA→＋13[(OB→－OA→)＋(OC→－OA→)]＝13OB→＋13OC→＋13OA→．∴OG→·(OA→＋OB→＋OC→)＝13OB→＋13OC→＋13OA→·(OA→＋OB→＋OC→)＝13OB→2＋13OC→2＋13OA→2＝13×22＋13×32＋13×12＝143．]利用数量积证明空间的垂直关系【例2】(1)已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为________．(2)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD．(1)6[由a⊥b，得a·b＝0，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，所以k＝6．](2)解：连接OG(图略)，设A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|．因为A1O→＝A1A→＋AO→＝A1A→＋12(AB→＋AD→)＝c＋12a＋12b，BD→＝AD→－AB→＝b－a，OG→＝OC→＋CG→＝12(AB→＋AD→)＋12CC1→＝12a＋12b－12c．所以A1O→·BD→＝12a＋12b＋c·(b－a)＝0，A1O→·OG→＝12a＋12b＋c·12a＋12b－12c＝0，所以A1O→⊥BD→，A1O→⊥OG→，即A1O⊥BD，A1O⊥OG，又BD∩OG＝O，所以A1O⊥平面GBD．用向量法证明垂直关系的步骤1把几何问题转化为向量问题.2用已知向量表示所证向量.3结合数量积公式和运算律证明数量积为0.4将向量问题回归到几何问题.[跟进训练]2．已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN．[证明]如图，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，又P，M分别为OA，BC的中点，∴PM→＝OM→－OP→＝12(b＋c)－12a＝12[(b－a)＋c]．同理，QN→＝12(a＋c)－12b＝－12[(b－a)－c]．∴PM→·QN→＝－14(|b－a|2－|c|2)．又AB＝OC，即|b－a|＝|c|，∴PM→·QN→＝0，∴PM→⊥QN→，即PM⊥QN．利用数量积求夹角【例3】如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值．思路探究：求异面直线OA与BC所成的角，首先来求OA→与BC→的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是0，π2，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化．[解]∵BC→＝AC→－AB→，∴OA→·BC→＝OA→·AC→－OA→·AB→＝|OA→|·|AC→|·cos〈OA→，AC→〉－|OA→|·|AB→|·cos〈OA→，AB→〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－162．∴cos〈OA→，BC→〉＝OA→·BC→|OA→|·|BC→|＝24－1628×5＝3－225，∴异面直线OA与BC的夹角的余弦值为3－225．利用向量数量积求夹角问题的思路1求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a·b，再利用公式cos〈a·b〉＝a·b|a||b|求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉.2我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量即直线的方向向量；②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的大小.[跟进训练]3．如图，已知直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．[解](1)证明：设CA→＝a，CB→＝b，CC′→＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0．∴CE→＝b＋12c，A′D→＝－c＋12b－12a．∴CE→·A′D→＝－12c2＋12b2＝0，∴CE→⊥A′D→，即CE⊥A′D．(2)∵AC′→＝－a＋c，∴|AC′→|＝2|a|，|CE→|＝52|a|，∵AC′→·CE→＝(－a＋c)·b＋12c＝12c2＝12|a|2，∴cos〈AC′→，CE→〉＝12|a|22·52|a|2＝1010．∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为1010．利用数量积求距离[探究问题]1．异面直线AB，CD所成的角为60°，则〈AB→，CD→〉的值是多少？[提示]〈AB→，CD→〉＝60°或120°．2．如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，试求A，D两点间的距离．[提示]∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→，∴|AD→|2＝(AB→＋BC→＋CD→)2＝|AB→|2＋|BC→|2＋|CD→|2＋2AB→·BC→＋2AB→·CD＋2BC→·CD→＝12＋2(2·2·cos90°＋2·2·cos120°＋2·2·cos90°)＝8，∴|AD→|＝22，即A，D两点间的距离为22．【例4】如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．思路探究：BD→＝BA→＋AC→＋CD→→[解]∵∠ACD＝90°，∴AC→·CD＝0，同理可得AC→·BA→＝0．∵AB与CD成60°角，∴〈BA→，CD→〉＝60°或〈BA→，CD→〉＝120°．又BD→＝BA→＋AC→＋CD→，∴|BD→|2＝|BA→|2＋|AC→|2＋|CD→|2＋2BA→·AC→＋2BA→·CD→＋2AC→·CD→＝3＋2×1×1×cos〈BA→，CD→〉．∴当〈BA→，CD→〉＝60°时，|BD→|2＝4，此时B，D间的距离为2；当〈BA→，CD→〉＝120°时，|BD→|2＝2，此时B，D间的距离为2．1．利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算．2．用数量积求两点间距离的步骤：(1)用向量表示此距离；(2)用其他向量表示此向量；(3)用公式a·a＝|a|2，求|a|；(4)|a|即为所求距离．[跟进训练]4．如图所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中