2020高一数学新教材必修1教案学案-4.4-对数函数(第一课时)解析版

14.4对数函数性质（第一课时）思维导图2躬行实践运用一对数函数的辨析【例1-1】下列函数中，哪些是对数函数？(1)y＝logax(a0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝logx6(x0，且x≠1)；(5)y＝log6x.【答案】（5)【解析】(1)中真数不是自变量x，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．[例1-2]函数hlog为对数函数，则等于()A．3B．h晜C．hlog晜D．hlog晜【答案】B【解析】因为函数为对数函数，所以函数系数为1，即h，即或h晜，因为对数函数底数大于0，所以，log，所以h晜。【思路总结】判断一个函数是对数函数的方法【触类旁通】1.若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.[答案]1[解析]由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.又底数a＋10，且a＋1≠1，所以a＝1.2.指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1.【答案】（2）3【解析】(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．运用二单调性【例2-1】比较下列各组对数值的大小：(1)log151.6与log152.9；(2)log21.7与log23.5；(3)log123与log153；(4)log130.3与log20.8.【答案】见解析【解析】(1)∵y＝log15x在(0，＋∞)上单调递减，1.62.9，∴log151.6log152.9.(2)∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，而1.73.5，∴log21.7log23.5.(3)借助y＝log12x及y＝log15x的图象，如图所示．在(1，＋∞)上，前者在后者的下方，∴log123log153.(4)由对数函数性质知，log130.30，log20.80，∴log130.3log20.8.【例2-2】（1）（2018·浙江镇海中学高一期中）函数213log(32)yxx的单调递减区间为（）A．2,B．3,2C．,1D．3,2(2)已知log0.72xlog0.7(x－1)，则x的取值范围为________；【答案】（1）A（2）(1，＋∞)【解析】因为213log(32)yxx，所以2320xx，解得1x或2x令232txx，因为232yxx的图像开口向上，对称轴方程为32x，4所以内函数232txx在2,上单调递增，外函数13logyt单调递减，所以由复合函数单调性的性质可知函数213log(32)yxx的单调递减区间为2,故选A.（2）∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log0.72xlog0.7(x－1)得2x0，x－10，2xx－1，解得x1，即x的取值范围是(1，＋∞)．【触类旁通】1.（2018·首都师范大学附属中学高一期中）函数212log(4)yxx的单调递减区间为______．【答案】02（，）【解析】由240xx得：04x（，），故函数fx的定义域是04（，）；令24txx，则12logyt，∵12logyt为减函数，24txx在02（，）上为增函数，在24（，）上为减函数；故函数212log(4)yxx的单调递减区间为是(0,2)．故答案为：02，2．函数f(x)＝log3(4x－x2)的递增区间是________．【答案】(0,2]【解析】由4x－x20得0x4，函数y＝log3(4x－x2)的定义域为(0,4)．令u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，当x∈(0,2]时，u＝4x－x2是增函数，当x∈(2,4)时，u＝4x－x2是减函数．又∵y＝log3u是增函数，∴函数y＝log3(4x－x2)的增区间为(0,2]．3.(1)满足不等式log3x1的x的取值集合为________；(2)根据下列各式，确定实数a的取值范围：①log1.5(2a)log1.5(a－1)；②log0.5(a＋1)log0.5(3－a)．【答案】(1){x|0x3}(2)①(1，＋∞)②(－1,1)5【解析】(1)因为log3x1＝log33，所以x满足的条件为x0，log3xlog33，即0x3.所以x的取值集合为{x|0x3}．(2)①函数y＝log1.5x在(0，＋∞)上是增函数．因为log1.5(2a)log1.5(a－1)，所以2aa－1，a－10，解得a1，即实数a的取值范围是(1，＋∞)．②函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，因为log0.5(a＋1)log0.5(3－a)，所以a＋10，3－a0，a＋13－a，解得－1a1.即实数a的取值范围是(－1,1)．【例2-3】（2019·天津南开中学高考模拟）设0.10.3a，131log5b，4log25c，则,,abc的大小关系是（）A．abcB．acbC．bcaD．cba【答案】D【解析】因为0.1000.30.31a，113333111logloglog5log92,35b244log25log42c，cba，故选D.【思路总结】比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．1．若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．2．若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．3．若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大的规律画出函数的图象，再进行比较．4．若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较【触类旁通】1．（2019·天津高考模拟（理））已知1.22a，52log2b，1ln3c，则（）A．abcB．acbC．bacD．bca【答案】A【解析】1.21222a5552log2log4log51b且55log4log10b61lnln3ln13ce即1012cbaabc本题正确选项：A2．（2019·福建高二期末（文））设0.46a，0.4log0.5b，8log0.4c，则a，b，c的大小关系是（）A．abcB．cbaC．cabD．bca【答案】B【解析】0.40661a0.40.40.40log1log0.5log0.41b88log0.4log10ccba故答案选B3．（2019·张家口市第四中学）已知abc，2log0.2a,0.22b,0.30.2c，则()A．abcB．bcaC．cabD．acb【答案】D【解析】22log0.2log10a，0.20221b又030002021...，即01cacb本题正确选项：D运用三定点【例3】（2018·云南省玉溪第一中学高一期中）函数log(32)2ayx的图象必过定点（）A．(1,2)B．(2,2)C．(2,3)D．2,23【答案】A【解析】∵log(32)2ayx过定点，∴321,1xx，=log1+22ay，故图象必过定点()1,2．故选：A．【触类旁通】1．（2019·重庆高一月考）函数()log(1)1afxx（0a，且1a）的图象恒过点（）A．(1,1)B．(2,1)C．(1,2)D．(2,2)【答案】B【解析】真数为1时，对数为0，所以令x=2，则f（x）=1，所以函数fx的图象过定点2,1.2．函数f(x)＝loga(x－2)必过定点________．7【答案】(3，0)【解析】由题意得，函数y＝logax恒过点(1，0)，函数y＝logax向右平移2个单位，可得y＝loga(x－2)的图象，所以函数y＝loga(x－2)图象必经过定点(3，0)．故答案为：(3，0)运用四图像【例4】如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取3，43，35、110，则相应于c1、c2、c3、c4的a值依次为()A.3、43、35、110B.3、43、110、35C.43、3、35、110D.43、3、110、35【答案】A【解析】方法一先排c1、c2底的顺序，底都大于1，当x＞1时图低的底大，c1、c2对应的a分别为3、43.然后考虑c3、c4底的顺序，底都小于1，当x＜1时底大的图高，c3、c4对应的a分别为35、110.综合以上分析，可得c1、c2、c3、c4的a值依次为3、43、35、110.故选A.方法二作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c1、c2、c3、c4对应的a值分别为3、43、35、110，故选A.8【思路总结】函数y＝logax(a＞0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响．观察图象，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图象向右越靠近x轴，0＜a＜1时a越小，图象向右越靠近x轴．(2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．【触类旁通】1.如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则()A．0＜a＜b＜1B．0＜b＜a＜1C．a＞b＞1D．b＞a＞1【答案】B【解析】作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.2.函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的()【答案】C【解析】A中，由y＝x＋a的图象知a＞1，而y＝logax为减函数，A错；B中，0＜a＜1，而y＝logax为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝logax为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝logax无意义，也不对．融会贯通1．对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为()A．y＝log4xB．y＝logx9C．y＝logxD．y＝log2x【答案】D【解析】由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝loga16，得a＝2所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.2．下列函数是对数函数的是()A．log晜B．ylogaaC．lnD．ylogaa【答案】C【解析】由对数函数定义可以，本题选C。3．下列函数，是对数函数的是A．y=lg10xB．y=log3x2C．y=lnxD．y=log晜（x–1）【答案】C【解析】由对数函数的定义，形如y=logax（a0，a≠1）的函数是对数函数，由此得到：y=lg10x=x，y=log晜=2log晜、y=log晜h都不是对数函数，只有y=lnx是对数函数．故选C．4．对数函数log且与二次函数hh在同一坐标系内的图象可能是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意，若tt，则log在上单调递减，又由函数hh开口向下，其图象的对称轴h在轴左侧，排除C，D.若，则log在上是增函数，函数